img057

CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH POSTACI

Dlatego też

\yl-x²-4x-3dx = (-x + l)j-x²-4x-3+l-\-_r    **    =⁷⁾

^J    U J    2J^_x2__4x_₃

= ^ x+1 j>/~x² -4x-3 -y arcsin    *+1 jV-*² - 4x - 3 + — arcsin(x + 2)+C.

Uwaga 4.2

Całkę postaci

(4.11)    J tV„(x)‘Jax^bx+c dx (ne^u{0))

można natychmiast sprowadzić do całki typu (4.4). W tym celu wystarczy zauważyć, że

KM)

lax +bx+c

(4.12)    W_n[x)ylax² + bx+c =

Spostrzeżenie 4.1

Uwaga 4.2 pozostaje słuszna, gdy we wzorze (4.11) wielomian W_n zastąpimy wyrażeniem 1

postaci-, gdzie V.jest tym razem wielomianem niezerowym, zmiennej rzeczywistej,

HM

stopnia co najwyżej 2, o współczynnikach rzeczywistych.

Twierdzenie 43

Całka postaci

dx

^⁴'¹³)    J (x-A)"Jax‘+bx+c

gdzie n e N oraz A, a,b,ceR (zobacz też uwagę 4.1), sprowadza się do całki typu (4.4) przez podstawienie: x - A = -.

t

PRZYKŁADY 4.6. Do całki

dx

^J x-Jx²-2x + 2

stosujemy podstawienie x=-= ę(t). Wówczas <p'(t) = - f² oraz t = — = <p_, (x), a zatem t    x

( \

te

dx

ST-

2x + 2

-sgnl j

dt

sl2-2t

+ t

(4-7)

= (-sgn/) In

2t-2+2^2-2t + t² = (sgn x) ■ ln

\-x

+ C

2x + 2

57