img061

CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH POSTACI W,(x)f■Jax¹ * bx

Całkowanie wyrażeń postaci 3l[x,Jax² +bx+c\, podstawienia Eulera

Wszystkie rozpatrywane dotychczas funkcje podcałkowe, w których występował pierwiastek

kwadratowy z trójmianu kwadratowego ax +bx + c\ należą do tej samej, bardzo obszernej, klasy funkcji niewymiernych, które można zapisać w postaci

gdzie 9&x,yj oznacza funkcję wymierną dwóch zmiennych rzeczywistych x, y o współczynnikach rzeczywistych (zobacz definicję 4.2). Niżej pokażemy, iż każdą całkę typu

(4.15)

jż%[x,-Jax² +bx+c'jdx.

gdzie liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunki sformułowane w uwadze 4.1, można przez odpowiednie podstawienia, zwane podstawieniami Eulera, sprowadzić do całki z funkcji wymiernej. Ta zapowiedź może budzić wątpliwości. Wydaje się bowiem niecelowe omawianie wszystkich poprzednich metod całkowania funkcji, w których występowało wyrażenie

•*]ax² +bx + c. Istnieje przecież, jak zapowiedzieliśmy, uniwersalna metoda i to odnosząca się do dużo szerszej klasy funkcji podcałkowych, a mianowicie do funkcji postaci

ylax² + bx+c j. Aby usprawiedliwić, a nawet uzasadnić konieczność prezentacji wcześniejszych metod całkowania, należy stwierdzić, iż stosowanie podstawień Eulera często prowadzi do skomplikowanych funkcji wymiernych, które w trakcie dalszych obliczeń wymagają od liczącego talentu rachunkowego oraz benedyktyńskiej cierpliwości. Jeśli więc potrafimy obliczyć całkę (4.15) bez stosowania podstawień Eulera, to prawie zawsze wynik uzyskujemy łatwiej, z mniejszym nakładem pracy. Podstawienia Eulera mają jednak tę zaletę, że zawsze (przynajmniej teoretycznie) sprowadzają całkę typu (4.15) do całki z funkcji wymiernej, a ich zastosowanie jest konieczne w tych przypadkach, gdy nie znamy innych metod obliczania konkretnej całki typu (4.15). Mamy nadzieję, że po tych wyjaśnieniach oraz po późniejszych przykładach Czytelnik sam oceni zalety i wady podstawień Eulera.

Twierdzenie 4.5

Jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają założenia sformułowane w uwadze 4.1, to podstawienia

I.    >lax² +bx + c =(t-x)yfa, gdya>0,

II.    yjax² +bx+c - (x+    L, gdy a < 0 (w tym przypadku, zgodnie z uwagą 4.1, musi

być A = b² - 4ac > 0),

zwane podstawieniami Eulera, sprowadzają całkę typu (4.15) do całki funkcji wymiernej zmiennej t.

61