img075

CAŁKOWANIE WYRAŻEŃ POSTACI .«(sinx,cosx)

1 1 1	U * , ^1 f dt I
4 t^2 +1 2	.2 f^2+l 2 J t^2 + l_
	\ tli ^1 f+i
	4^ta#rr 4 t^2+i

1

+—cos x ■ (sin x + cos*) + C. 4

5.4. Funkcja podcałkowa w całce

r    dx

sinx(2 + cos j:

*(2+cos*-2sinx)

nie ma żadnej z własności wymienionych w twierdzeniu 5.1 i dlatego stosujemy podstawienie uniwersalne t = tg|. Wówczas (zobacz wzór (5.14)):

•f sinjrf2 +

dx

	2 f t^2 + l
2 sin*)	J 2t l-/^2 „ 2t "i
	[ <^2+l[“' t^2+l V+lJ

dt

f —

J t(t- 3)

l)d/ '

=i_ln tg—1+—lnltg—-3 -ln UJ /    3J/-3 1    3    ⁶ 2| 3 1⁵2

5.5. J — = - J -7^-(-sinx)dx = - J ¹ {cosx)'dx = [J'-j—

^J smx ^J sm x    ^J 1-cos x    V t

x *

tgy-l

+ C.

A-cosx

(l r dt 1 f d )    1, cos*-l    1    ₂ x

= 1-1---- = — ln-+C = —lntg -+C =

V2^Jt-l 2^Jf + U_=co>, 2 cosx+l    2    2

= ln tg— + C

2

Podstawiając teraz t = tgx, otrzymujemy ostatecznie:

sin² x cos x, (l |/ + l| 1 t +1^

-dx= —ln r—==■----=—

sinx+cosx 14 Jt²+1    4 r + 1

J-

J si:

/=tgx

= i ln|sin a:+cos Ą+

s.t. 1—^— =. (-{—}    -

^J cos* ^Jsin(--x) i V ^J sinf J_lm£__x v 2    / <-j-»    2

-lntg—

2

ln

C,gi

//a--X

2

75