ANALIZA 1 SEMESTR9

a e

3 3 Korzystając ze wzorów redukcyjnych zapisać podane wyrażenia w postaci funkcji trygonometrycznych kąta

:.n_:

- 2)

a)sin(y-a); ^b)^cos(y+^a):    c)tg(Tr-a); d) ctg (| + aj .

3.4 Uzasadnić tożsamości trygonometryczne:

S 14-tg a

_a) ——-= tg a;

1 + ctg a

^ a 1 - cosa

b) sin⁴ a-f cos⁴ q = 1~- sin 2a;

e) sin⁴ a-cos⁴ a = sin² a—cos² a;

c) tg a -f ctg a =

sin 2a ’

f)

i

- cosa = sin a tg a.

Dla jakich kątów a są one prawdziwe?

3.5 Obliczyć wartości wyrażeń:

a) tg ^arc cos ; b) ctg ^arcsin ; c) sin ^arcsin ^ + arcsin y ^ ;    d*) sin (arctg 1 +arctg2).

3.6 Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych: a) f{x) = sini, x € [|, yj;    b) /(z) = cosi, x € [tt,2tt];

c) /(x) = tgi, te    ^d) /(*) =ctgi, x G (7r,27r).

Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych.

Lista 4

4.1 Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone: 2 + cosn

a) On =

3 — 2sinn

d) a-. = Vn — S — v n 4- 3:

b) a„ = yy^ + l;

. 1 1 1 ^e) °n = -~~r +    + • • • +

4¹ 4-1    4² + 2

4ⁿ +n’

, 4ⁿ - 1 ^{C) Qn}“ 2"+3^;

f) On = 2ⁿ - 3ⁿ.

4.2 Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczr.e od pewnego miejsca: 2n + l    . .    n

a) a„ =

d) a„ =

n + 2 ’ 1

b) a„ = e) a_n =

n² +1’

4ⁿ

^c) °- = Io^^;

f) a_n = \/n² + 1 — n.

n²-6n+10’    2"+ 3"’

4.3 Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości:

a) lim — ~ = —1;

n—*oo Tl 4 4 1

l \ i • 2n + 1 _n

b) hm -*— = 0;

71—»0O    Tl*

\    2\fn + 1    ₀

^C) n^c    + 1    ~    ^;

d) lim ^ ' - = 0;    e) lim log₂(n + 3) = oo;    f) lim (10 - -^n) = — oo.

n—*oo 2ⁿ O    n—»oo    n—»oo _    '

4.4 Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:

a) lim

3n — 1 n + 4 '

^d)    us

i- łi + 1

b) hm ■

ri—»oo 2n² “I" 1

^    1 -f 3 -f • • • + (2n — 1)

e) lira —------;

n—»oo    2    4 “f-... -h 2n

... n³ + 2n² + 1

c) hm -—;

n—oo n — 3n^J

5ⁿ - 4ⁿ

f) lim --—;

' n-oc. 5ⁿ — 3ⁿ

(n³ 4- 1) n! 4-1

cti ii 21 —-77-—;

^c -.r* f2n-l)(n-li'

h) lim fy/n² + 4n + 1 — y/n² 4- 2n); i) lim f\/n + 6-yn + 1 — \/n).

Tł—*oo \    /    n—»oc \    /

4.5 bierz'■‘Stając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice: