6700449608

Zadanie 5.48. Korzystając z definicji wykazać monotoniczność funkcji na zadanych zbiorach:

(a)    f(x) = -4x + 5, IR,    (c) g(x) = 4x - x², [2, co),

(b)    fM-skr.n.oo),    (^d) flW-^ + Jr.n.oo).

Niech f: X -t Y oraz g: Y —> Z będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję H: X —► Z taką, że: h(x) = g(f(x)), dla każdego x e X.

Funkcję złożoną h znacza się symbolem g o f i czyta: f złożona z g.

Zadanie 5.49. Określić funkcje złożone f o g, g o f, f o f, g o g, gdzie:

(a) f(x) = 1, g(x) = x²,    (c) f(x) = •/*, g(x) = x⁴

(b) f(x) = log₂x, g(x) = 2^X,    (d) f(x) = sinx, g(x) = £.

Zadanie 5.50. Znaleźć funkcje odwrotne do podanych f (x) =

(a) 1—3-*,    (c) x⁶-sgn(x),    (e) log|(x+1),

(b) x⁵ + \/3,    (d) 3-^+2,    (f)

Zadanie 5.51. Naszkicować wykres funkcji arctan (tan(x)).

Zadanie 5.52. Niech f: IR —»IR będzie zadana wzorem: f(x) = —x² + 7x — 12. Znaleźć f ' ({0})

if-'([0,1]).

Zadanie 5.53. Niech f: IR —> IR+, (IR+ = {x e IR | x ^ 0)) będzie zadana wzorem: f(x) = |x² — 5x + 6|. Znaleźć f“'({0}) i f^_1 ((0,1)).

Zadanie 5.54. Niech f: IR -*■ IR będzie zadana wzorem: f(x) = 2^|x|. Znaleźć f^_l ([0,1]) i f¹ ([2,3]). Zadanie 5.55. (*) Niech f: [0,1] —> [0,1] będzie zdefiniowana wzorem

_f(_x) _ |^x' gdy ^x wymierny,

11 — x, gdy x niewymierny.

Pokazać, że f jest bijekcją mimo, że nie jest monotoniczna.

Zadanie 5.56. Niech f: IR -»IR będzie określona następująco:

2x + 3,	dla
3,	dla
	dla

wyznaczyć f ¹.

Pokazać, że f jest bijekcją