3

Szeregi funkcyjne - zadania (cd.)

1) Korzystając z definicji obliczyć sumy szeregów:

a)	00 X/ (x+2n-l)(*+2w+l) ’	b)	00 X e ~^Ux , * > 0
	"5^1		W=1
c)	X-*(l“ ■*)’’, X G (0, 1 > .
	«=I

2) Korzystając z kryterium Weierstrasasa wykazać jednostajną i bezwzględną zbieżność następujących szeregów funkcyjnych :

oo

a) X

«=i

00

xP

X G R , p > 1

c)

e)

g)

X    xeR

n=\

GQ

L=1

(-l)«-ł_esi

x+Jn

x > 0

b)	X	sinnt g U+X* ’	G /?
	00
d)	X	X - V	> 0
		l+*V ^5 *
f)	X M-1	(-1)"	r
		jx^2+n^2 Jnx+n	? ^A

X > 1

X    n(arctgx)ⁿ , x g< -a, a > , 0 <

3) Wykazać ciągłość funkcji:

00 »®>

b) Ax)-X    *^e <^a’^+co)’ ^a>0

n=1

4) Wykazać różniczkowalność funkcji: a) /(*) =X ⁿ~^le , * > 0 b) /(*) =X 75777» ■* >0 ifl >0).

W=1

5) Rozwinąć funkcję /(*) w szereg Maclaurina i określić przedział zbieżności otrzymanego szeregu:

a) flx) ~ (1 +x)e^x, b) flx) -^xle *, c) /(*) - ^1 + *; d) /[*) =    , e) flx) = ln(2*² + 3* + 1), f) /(*) = arcsin*

,    ,    f jbł dla ar * 0

g) /(*) - sin * cos²*, h) /(*) = <

1    1 dla * = 0

* * ¹ i) j f^L_dt