img023

ZADAŃ LA

Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części oraz z całek zestawionych w tablicach, obliczyć:

dx

r    f ,    r    r Jafr    rjccos

2.17. In xdx 2.18. * sin xdx 2.19. x arctg xdx 2.20. ——    2.21. -r

sin x

J    J    ^J    J sin x    ^J sin

f xarctgx ,    rarcsin-/* ,    r    ,

222.)~j^=£^dx    2.23. J —j==—dx    2.24. Jln(l + x )dx    2.25. J (arcsin x) <ir

r xax    _t    rlncosr j fxcosx .    _f

2.26. J ,    2.27. I sin(ln x)dx 2.28. J-\— te 2.29. J ^—~— te 2.30. I x ■ e^x sin xdx.

V i *ł"    *    cos x    sin x    *

Wyznaczyć następujące całki nieoznaczone:

f te    r x²dx    r ,2    ₍J_x² - 4    r ₃

231. I—r~ 232. H= 233.\xe*dx 234. |——-dx 235. sin xcosxdx ^J sin x    ^J j2-x    ^J    J x    ^J

x]n(x+-Jl+x²)    r 3x + l    r xdx    rsin²*

236. f. ............—-dx 237. 1-te 238. —j-    239. -r~dx

J^a + x^{^    j}x²+3x+5    ^j-x^j+x-1    ^J cos⁶*

r aresin x    r xdx

2.40.    j—<* 2.4..J

Wskazówki, rozwiązania, odpowiedzi

2.1.    Zobacz przykład 2.3.

2.2.    Zadane odwzorowanie/ma w punkcie x — 0 nieciągłość drugiego rodzaju, gdyż

/( —i—| = sin2/i7r = 0 -»0, gdy «-><»

\2mz )

oraz

/

—+ 2 nn 2

= sin^y+2n7r | = ł —> 1, gdy

Aby wykazać, że/ma w przedziale R funkcję pierwotną, zauważmy żef = g-h, gdzie

dla x * 0

g:R3*->g(x):=

1 . 1 2* cos—+sin— x x

0

dla x = 0.

2xcos—

X

0

A:R3x-»fc(x):=

dla x * 0 dla x = 0,

Funkcja g jest całkowalna w sensie Newtona w przedziale R (zobacz zadanie 2.1), funkcja h jest zaś całkowalna w sensie Newtona w tym samym przedziale, gdyż jest ona ciągła w przedziale R (dlaczego?), a zatem funkcja / = g - h jest też całkowalna w sensie Newtona w przedziale R (zobacz twierdzenie 2.3).

23