1673068227

FUNKCJE ANALITYCZNE

Zatem, jeżeli 7|(_a,&) jest iniekcją, to J f (z)dz zależy tylko od obrazu 7 oraz od kierunku, w którym całkujemy, tzn. od orientacji. W takiej sytuacji będziemy często utożsamiać drogi z ich obrazem oraz odpowiednią orientacją.

W szczególności, jeżeli D jest obszarem, którego brzeg można iniektywnie spara-metryzować drogą zamkniętą, to możemy mówić o dodatniej orientacji dD - będzie nią dowolna parametryzacja o kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara. Całka J_dD f(z)dz ma wówczas sens, gdyż nie zależy od wyboru takiej parametryzacji (i jest ona zgodna z całką z formy po krzywej gładkiej). Będziemy używać tego oznaczenia przede wszystkim, gdy D jest kołem lub wnętrzem trójkąta.

Jeżeli / jest określone w pewnym otoczeniu obrazu drogi 7 i ma tam funkcję pierwotną, tzn. istnieje funkcja holomorficzna F taka, że F' = /, to z (2.7) otrzymamy

(3.1)    J f(z)dz = jf* j_tF(lif)) dt = F(y(b)) - F( y(a)).

W szczególności, jeżeli 7 jest drogą zamkniętą, to f(z)dz — 0.

| Ćwiczenie | Pokazać, że jeżeli funkcja f — u + iv ma pierwotną, to pole wektorowe (u, u) jest potencjalne, tzn. (v,u) = Vx dla pewnej funkcji x-

Przykład. Dla n € Z, Zq € C oraz r > 0 obliczymy

Odpowiednią parametryzacją tego okręgu będzie

7 (t) = zq + re^lt, 0 <t< 27t.

Wtedy 7'(t) = rie^lt oraz

(3.2)

f

r“⁺¹śe⁽ⁿ⁺¹ )udt =

!

o,

27TŻ,

jeżeli n^— 1; jeżeli n = — 1.

Zauważmy, że dla n/-1 wynika to również z (3.1), gdyż wtedy funkcja (z—Zo)ⁿ ma pierwotną określoną w otoczeniu dK(zo, r). Pokazuje to także, że funkcja 1/(z — zq) nie ma pierwotnej w żadnym pierścieniu o środku w zq.

Jeżeli z, w € C, to przez [z, w] oznaczamy drogę daną przez parametryzację 7(£) = (1 — t)z + tw, t G [0,1].

| Ćwiczenie | Obliczyć / Log 2 dz.

Jfl.il

Ćwiczenie Pokazać, że

2m, z G K(zq, r),

[

Jaią*,A (~^z

trzema sposobami: