Ebook6

142 mi 5. Rachunek całkowy

5.3 Całkowanie funkcji wymiernych

Przy całkowaniu funkcji wymiernych korzystamy z następującego twierdzenia:

Twierdzenie 5.5. Każdą funkcję luymiemą można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy pewnego wielomianu i skończonej liczby ułamków prostych.

Rozpoczniemy od omówienia metod całkowania ułamków prostych. Całki ułamków prostych pierwszego rodzaju, tzn. całki f    gdzie

n 6 N, A, k, l E R, k ^ 0, obliczamy przez podstawienie kx + l = t.

PRZYKŁAD G.

/

4 dx

(3z+-5)⁴

3x + 5 = t 3 dx = dt dx =    ^dt

-Jr⁴di =

4 r³    ^    4    ^

⁺° ⁼ ~ 9(3x + 5)³ +°'

W celu obliczenia całek ułamków prostych drugiego rodzaju, tzn. całek f (azi+bJ+c)" S^dzic a ^ 0 i b² - 4ac < 0, B, C € R, n E N, sprowadzamy trój mian kwadratowy w mianowniku do postaci kanonicznej ax² + bx + c = a(x — p)² + q, przy czym p = — q = ^4a^^b-. Następnie w całce

f (a(x-p)f+q)ⁿ dx P°^dstawiamy ^X~P = \fi^t i Otrzymujemy całkę f jfzffidt. Mamy

fDt + E    f tdt

J (t² + 1)" ^{= D} J (it² + 1)-

dt

(t² -ł- l)ⁿ

W pierwszej całce podstawiamy t² + 1 = z. W drugiej całce dla n = 1 wykorzystujemy wzór J = aretg t + C. Jeżeli n ^ 2, to stosujemy wzór rekurencyjny

/

dt

{t² + l)ⁿ

2n — 3 f dt    t

2n - 2 J (:t² + l)^n_1

(2n — 2)(t² -ł- l)^n_1 ’

(5.10)

PRZYKŁAD 7. Obliczyć całki:

^a> I Tj^lf5^dX' ^b) I wv£rw^ix

ROZWIĄZANIE.

a) Dla trójmianu kwadratowego 2x² — 3x 4- 5 mamy A = —31 < 0, win funkcja podcałkowa w całce f _2xi-3x+5J^{est u}^^am^iem prostym drugiego rodzaju. Aby wykorzystać wzór (5.3), obliczamy pochodną funkcji 7> '

3x 4- 5. Mamy (2x² — 3x 4- 5)' = 4x — 3. Zatem

/

3x-7 2x² — 3x 4- 5

dx =

J

l(4x-3)-f 2x²    - 3x + 5

4x - 3

/

2x² — 3x 4- 5

dx —

?/

dx

- In |2x² — 3x +

-?/?=

2x² — 3x + 5 dx

\^x + \

Niech h — f _xi s• Przedstawiamy trójmian kwadratowy x² -    4- $

w postaci kanonicznej i uzyskujemy

Ii =

dx

D² +

31

16

x-i

4

dx t =

%t 16^Ł

= ^dt

4x—3 n/3T

n/31 f

4/21 ^ ⁷ 16

4v/3l    -    4v/3l 4x - 3    _

?n ⁼ "3r^arctg ‘^{+c =} ^r^arctg ~w^+a

dt

Ponieważ V_xeR 2x² - 3x + 5 > 0, więc ostatecznie otrzymujemy

/

3x - 7    3    ₂

—--dx = - ln (2x — 3x + 5)

2x² — 3x 4- 5    4 ^v    '

19n/3T

62

arctg

4x — 3

TT

+ c.

b) Dla trójmianu kwadratowego x² 4- 2x 4- 10 mamy A = —36 < 0, więc wyrażenie podcałkowe w całce / (_x2₊^+ió'p^^x jest ułamkiem prostym drugiego rodzaju. Sprowadzamy trójmian do postaci kanonicznej, mamy x² 4*