Ebook7

144

Ro d iał 5 Rachunek całkowy

2x + 10 = (x + l)² -f 9. Zatem x + 2

/

=!

(x² + 2x + 10)³

= /®T

+ 2

+ l)²+9)³

dx

Niech

■xdx =

3(31 + 1)	-^3 f	[( ^3t
(9<^2 + 9)^3	“9^3 [J	\(^^2 + l)^3
f tdt		f dt
J (<^2 + l)^3	^ 243 J f tdt	(<^2 + 1 )^3
h =	i (<^2 +l)^3’ ^h y

I

(<² + l)³‘

x + 1    = 3<

dx — 3 dt

t —

dt

dt

Mamy

/1

-/

tdt

t² + 1 = 2

(<² + l)³ 1

2<d< = ć/z 1

tdt =    ^dz

4z^2+C    4(i² + l)^2+a

■i/

z ³ciz =

W celu obliczenia całki I2 korzystamy ze wzoru (5.10)

dt

I

(<² + l)²    4(<² + l)²'

Całkę f    obliczamy, korzystając ponownie ze wzoru (5.10)

f ^dt _ ¹ f

./ (<² + l)² “2 J

dt    t    1

+ z, .o = -arctg< +

<

Zatem

3

<² + 1^2(<² + l) 2^C

3<    <

+

h _garctgt + ₈^2 -(- _X) ¹ 4(<² + 1)2

2(<2 + 1) + C.

+ C.

Ostatecznie mamy

h

x + 2

clx = J- | —

1

i

(x² + 2x + 10)³    81 V 4(<² + l)2

1 T 3    3<    <

243 8

-arctg< +

!

8(<² + 1)    4(<2 + 1)2

+ C.

Po wstawieniu t = ^Ł^-¹- i po przekształceniach otrzymujemy f x + 2    ,    x + 1    x — 8

J (x² + 2x + 10)³    216(a;² + 2x + 10)    36(x² + 2x + 10)²

1 x + l

⁺ 648^arCtg— ^{+ C}'

Teraz przedstawimy algorytm rozkładania funkcji wymierny* I..... wielo

mian i ułamki proste.

Niech f(x) =    , gdzie W_n(x), G_m(:r) są wielomianami odpowiednio

stopnia n,m o współczynnikacli rzeczywistych. Przy rozkładaniu lun In |i f(x) na wielomian i sumę ułamków prostych stosujemy następujące za:udy

1.    Jeżeli n ^ m, to dzielimy wielomian W_n(x) przez wielomian G_m(x),

Następnie przedstawiamy funkcję f(x) =    w postaci sumy uzyskanego

z dzielenia wielomianu oraz funkcji wymiernej , gdzie stopień wielomia nu P_k{x) jest mniejszy niż stopień wielomianu Gm(x). Funkcję wymienią

rozkładamy na sumę ułamków prostych według punktu 2.

2.    Jeżeli n < m i funkcja f(x) = ^ nie jest ułamkiem prostym, to

a)    przedstawiamy G_m(x) jako iloczyn tzw. czynników nierozkładalnyeli, czyli czynników stopnia 1 oraz czynników kwadratowycłi nierozkładal nych,

b)    przewidujemy postać rozkładu    na sumę ułamków prostych,

rodzaj tych ułamków prostych zależy od czynników w mianowniku:

bl) dla każdego czynnika postaci (kx + l)ⁿ przewidujemy ułamki proste pierwszego rodzaju tzn. ułamki postaci

A\ A2    A_n

kx + 1' (kx +1)²’ ^}(kx + l)ⁿ' gdzie A\, Aj,..., A_n to pewne stałe,

1)2) dla każdego czynnika postaci (ax² + bx + c)ⁿ, gdzie A < 0, przewidujemy ułamki proste drugiego rodzaju tzn. ułamki pos taci

B\x + Ci Bjx + C2    B_nx + Gfi

ax² + bx + c (ax² + bx -ł- c)² ’    ’ (ax² + bx + c)ⁿ ’