Ebook3

130

Rozdział 5. Rachunek całkowiy

wyprowadzić następujące wzory:

f'(x)dx

/ /(i)

J7M = ²^^{) + a}

Wzór (5.3) nazywamy caMą logarytmiczną. Dla a ^ 0 otrzymujemy

= ln|/(x)| + C,

/

^    = - ln |ax -f 6| + C.

aa; 4- 6 a

Ponadto dla a ^ 0 mamy

/

/

/

sin (ax 4- b)dx = — cos (ax -f b) 4- C, a

cos (ax 4- b)dx = - sin (ax 4- b) + C, a

e^ax+bdx = -e^ax+b + C.

(5,:i)

(5.1)

(5.5)

(5.(1)

(5.7)

(5.8)

Twierdzenie 5.4. (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje fig mają im pewnym przedziale I ciągłe pochodne f i g', to dla każdego x £ /

I f{x)g'(x)dx = f(x)g(x)-J f(x)g(x)dx.    (5.!))

PRZYKŁAD 2. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części, obliczy* całki:

a)    f xcos3xdx,

b)    f ln (a:² 4-1 )dx,

c)    f arccos6xdx,

ln xdx

d) I

ROZWIĄZANIE.

a) Korzystając ze wzorów (5.9), (5.7) i (5.6), mamy

/

x cos 3 xdx

= -xsin3a:

f(x) = x g'{x) = cos3x f'{x) = 1 g{x) = ^sin3a:

sin 3 xdx = -x sin 3x — -

— - cos 3x

O

+ C =

= sin 3x 4- - cos 3x + C,

r>.2. Całkowanie pi podstawienie, catKowamr przez częóci

i:\7

b)

f(x) = ln(x² 4- 1) g'(x) = l

) = P x²dx

f'(x) = jrfi    9(x) = x

J ln (x² 4-1 )dx

= x ln (x² + 1) — 2 J dx 4-2 J =

= xln (x² 4- 1) - 2x 4- 2arctgx 4- C,

/ arccos 6xdx	/(x) = arccos 6x	g'{x) = 1
1	/ (^x) y/l-36x^2	p(x) = X

f 6x

= xarccos6x4- J ^    , =zdx

= x arccos 6x = x arccos 6x

\/l — 36x'^

1 f —72x    ,

-i2

v/l - 36xⁱ (1 - 36x²)'

__L [

12./ Vl - 36x² Na podstawie wzoru (5.4) mamy

/

c?x.

arccos 6xdx = x arccos 6x — - \/l — 36x² 4- C.

b

d)

lnx    1 f dx _ lnx    1 / 1\

4x⁴    4 J x⁵ 4x⁴    4 \ 4x⁴ J

/lnxdx /*_«:.    ,

--— — x \nxdx

/(x) = lnx </(x) = x^-5 /'(*) = £    9{x) = - 4^r

Uwaga 5.2. Wykorzystując metodę całkowania przez części, można obliczyć m.in. całki J aresin xdx, f arccosxdx, f arctgxdx. f arcctgxdx.