0212

214

X. Zastosowania rachunku całkowego

Prąd ten nosi nazwę prądu indukcyjnego; ze wzrostem t natężenie jego szybko maleje.

5) Równanie reakcji chemicznej. Rozpatrzmy proces chemiczny polegający na zamianie oddziałujących wząjemnie na siebie substancji A, B,... na substancje M, N, ... Dla oszacowania ilości substancji uczestniczącej w reakcji wyrażamy ją w gramocząsteczkach, czyli molach. Molem jakiejś substancji nazywamy taką jej ilość wagową, która wyraża się w gramach liczbą równą ciężarowi cząsteczkowemu tej substancji. W 1 molu dowolnej substancji zawarta jest zawsze taka sama liczba cząsteczek niezależnie od rodząju substancji.

Jeśli założymy, że w reakcji na każdą cząsteczkę jednej substancji przypada jedna cząsteczka drugiej, to również na każdy mol pierwszej substancji przypada mol drugiej. Po czasie t od rozpoczęcia reakcji biorą w niej udział jednakowe ilości cząsteczek obu substancji: powiedzmy x moli. Prędkość wzrasta-

dx

nia zmiennej x względem czasu, czyli pochodna —y, nazywa sic prędkością reakcji chemicznej.

dt

Niech na przykład w reakcji uczestniczą dwie substancje A i B, których ilości początkowe (w molach) oznaczamy przez a i b (niech będzie przy tym b>a). Po czasie t pozostaje ilość a—x substancji A i ilość b—x substancji B. Naturalne jest założenie, że prędkość reakcji w chwili t jest wprost proporcjonalna do iloczynu obu wchodzących w reakcję substancji, tzn. ilości reagujących cząsteczek, które jeszcze nie uległy przemianie. Prowadzi to do równania różniczkowego

= k (a—x) (b—x) at

lub

dx_

(a-x) (b-x)

kdt.

Całkując otrzymujemy

—i— ln —- — -kt+ C. b—a b—x

Ponieważ dla t C dostajemy

0 jest także x = 0, więc C =

1

b—a

ln y-. Podstawiając otrzymaną wartość stałej b

ln

(a-x) b (b-x)a

—k (b-a) /,

skąd łatwo znąjdujemy

ab

X —

Przy wzroście t funkcja wykładnicza e~^M~^,)t dąży do 0 i po upływie skończonego czasu staje się tak mała, że praktycznie x nie różni się już od a i reakcja kończy się.

6) Wahadło matematyczne. Niech punkt materialny o masie m będzie zawieszony na nierozciągliwej nici lub na pręcie (którego masę zaniedbujemy) o długości I, tak że punkt ten może poruszać się po kole (rys. 51). Układ taki nazywa się wahadłem matematycznym. Wychylamy wahadło z położenia równowagi O A w położenie OB (<x<rc/2) i puszczamy je swobodnie bez prędkości początkowej.

Wahadło przejdzie w położenie symetryczne OB', potem powróci do położenia OB itd. Zadanie polega na zbadaniu charakteru tych wahań, tzn. na zbadaniu zależności między kątem a = •¹ AOM i czasem t. Będziemy rozpatrywali ruch punktu M po luku AB, mierząc przebytą drogę r = ^w WAM = —10 od punktu A, a czas t — od chwili przejścia wahadła przez położenie równowagi.

Rozkładąjąc siłę ciężkości F = mg działającą na punkt M tak, jak podano ną rysunku, widzimy, że składowa styczna tej siły jest równa F, = —mg sin 6(‘), a składowa normalna równoważy się z napięciem nici czy też pręta. Jeśli przez-u oznaczymy prędkość punktu M, to jego energia kinetyczna w roz-

1

Siła jest skierowana przeciwnie do ruchu.