0208

210

X. Zastosowania rachunku całkowego

do postaci

(8)    P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0, która jest czasem wygodniejsza.

Rozpatrzymy tu dokładniej tylko te prostsze przypadki szczególne równania (8), w których rozwiązanie jego sprowadza się bezpośrednio do kwadratur. Rozważenie tych przypadków jest w ten sposób naturalnym uzupełnieniem rozdziału VIII.

Jeśli w równaniu (8) współczynnik P zależy w istocie tylko od x, a współczynnik Q — tylko od y, tzn. jeśli równanie ma postać

(9)    P(x)dx+Q(y)dy~0,

to mówimy, że zmienne są rozdzielone. W tym przypadku całkowanie jest bardzo proste.

Niech funkcje P(x) i Q(y) będą ciągłe (w odpowiednich przedziałach). Wtedy jP(jc) dx jest różniczką funkcji P(x) — JP(x) dx, a Q(y) dy — różniczką funkcji Q(y) dy — jQ(y) dy, nawet jeżeli przez y rozumiemy funkcję y (x) spełniającą równanie (9X‘). W takim razie lewa strona równania (9) jest różniczką sumy P(x)+Qfy). Ponieważ różniczka ta — w myśl równania (9) —jest równa 0, więc sama funkcja sprowadza się do stałej

(10)    P{x)+Q{y) = C.

Oczywiście także na odwrót, jeśli funkcja y — y (x) spełnia dla dowolnego x to równanie, to spełnia również równanie (9). Równość (10) daje więc ogólne rozwiązanie równania (9).

Przy rozwiązywaniu równania (9) niektórzy wolą umieszczać składniki z dx i dy po różnych stronach równości

(11)    GO) dy = ~P(x) dx.

Całkując oddzielnie lewą i prawą stronę równania i pamiętąjąc o stałej dowolnej, którą wystarczy dodać do jednej z całek, otrzymamy wynik

/ GO) dy — — / P(x) dx+C

identyczny z poprzednim.

Załóżmy, że mają być spełnione warunki początkowe (3). Zamiast znajdować najpierw rozwiązanie ogólne, a następnie dobierać stałą C do warunków początkowych, możemy postąpić trochę prościej. „Sumując” wielkości elementarne (11) po prawej stronie w przedziale od Xo do x i po lewej stronie — od y₀ do y, otrzymujemy równość

j&y)dy= - jp{x)dx,

Zo    *0

która jest szukanym rozwiązaniem szczególnym; sam kształt tej równości podkreśla, że jest ona oczywiście spełniona dla x = x₀ i y — y<>- Łatwo można sprawdzić, że ostatnie rozwiązanie różni się od poprzedniego jedynie sposobem napisania.

Przykłady. 1) Niech będzie dane równanie

sin xdx+ = 0 .

yy

Całkujemy stronami

—cos x+2 |/y = C,

f sin x dx+ f -~r = C lub

j    J yy

(‘) Wobec niezmienniczości kształtu różniczki [106].