0186

188

X. Zastosowania rachunku całkowego

oraz

a    a

I/*! — 2iz— J \/a²—e²x¹ dx = 4it — J Ya²—e²x²dx =

-a    ^a 0

= 4n — f— xi/a²—e²x² + -^— arc sin--1[ = 2n— (oi/«^J—e²a² + a² arcsin e); a \ 2    2e    a ) |₀    a

a ponieważ a²—e²a² = a²—c² = b², więc ostatecznie

|P| = 2tc6 ^6+ — arc sin ej .

Jeśli powierzchnia powstaje przez obrót elipsy dokoła małej osi, przyjmujemy, aby wykorzystać przeprowadzone już rachunki, że oś x pokrywa się z małą osią elipsy. W ten sposób w otrzymanym już wyrażeniu dla yj/1 + y'² wystarczy jedynie zamienić miejscami litery a i b, a więc

f    i ■■

wobec tego mamy

\P\ = 271

^/b²+±_rx²dx =

UY

[1'łA^+f^1ta(ł•+ y^F)]

-2ira(/P+?₊^.inJ^±f!±l).

\    2c    y b¹ -\-c² — c /

Ponieważ ^b²+c² = a, c — ta, więc ostatecznie otrzymujemy następujące wyrażenie dla pola |P|:

|P| = 2na (a+ — ln-^-) = 2tot la+ — ■ — ln-ii^\ .

\ 2c a—cJ    \    2a e 1 — e)

346. Pole powierzchni walcowej. Rozpatrzmy tu jeszcze jeden rodzaj powierzchni zakrzywionej, dla której zdefiniujemy pole (wyprzedzając ogólną definicję, która będzie podana później). Mamy na myśli powierzchnie walcowe.

Powróćmy do krzywej AB na płaszczyźnie xy, o której mówiliśmy w ustępie 344* Przyjmujemy ją za kierownicę powierzchni, której tworzące są równoległe do osi z (rys. 35). Na tej powierzchni prowadzimy krzywą CD przecinającą każdą z tworzących w jednym punkcie. Krzywa ta będzie określona, jeśli do równań (6) dołączymy jeszcze trzecie równanie

(24)    z = _X(t) OC > 0).

Chodzi nam o wyznaczenie pola |P| części powierzchni walcowej zawartej „pod tą krzywą”.

Podobnie jak w ustępie 344 wprowadzimy jako parametr długość łuku s. W ten sposób nie tylko równania (6) krzywej AB zastąpimy przez równania (18), ale również i równanie (24) przez równanie

z = JP(s).