0210

212

X. Zastosowania rachunku całkowego

359. Zadania. Rozpatrzymy kilka zadań z różnych dziedzin wiedzy, prowadzących bezpośrednio do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych.

1) Znaleźć krzywe, dla których odcinek normalnej n (do punktu przecięcia z osią x) ma długość stałą r.

Opierając się na wzorze na odcinek normalnej n [230, (4)], piszemy warunek, który powinna spełniać szukana funkcja y zmiennej x, w postaci równania różniczkowego

|ł^- ł^/l+/² ! = r, czyli y²(l+y'²) = r².

Stąd mamy

y =    = ± J^EzL i_ub    +dx.

dx    y    }Jr²-y²

Całkując otrzymujemy

- 1/r²-y² = ±(x+C) lub (x+C)²+y² = r¹.

Jak należało oczekiwać, otrzymaliśmy rodzinę kół o promieniach r i o środkach leżących na osi x.

2) Znaleźć krzywe, dla których odcinek stycznej do przecięcia się z osią x, ma stałą długość równą a.

Na mocy 230, (4) odpowiednie równanie różniczkowe ma postać

4 ł/l+P'

dy

Podstawiając y' = łatwo przekształcamy to równanie do postaci

p y ¹ +    | ~ ^a’ ^czyli dx = ± ^{1 a} — dy

Całkując otrzymujemy

x+C = ± [₀in^±i^EZ:_yE^zp-]; jest to rodzina traktrys [porównaj 331, 11)].

3) Prawo stygnięcia. Przypuśćmy, że stygnące ciało o temperaturze 0°C jest otoczone ośrodkiem o temperaturze 0°C. Newton odkrył prawo, w myśl którego prędkość stygnięcia jest wprost proporcjonalna do temperatury 0, tzn.

d0

dt

—kd,

gdzie A; jest stałą dodatnią. Znaleźć prawo obniżania się temperatury ciała począwszy od chwili / = 0. Mamy tu

rf0

0

—k dt,

skąd znąjdujemy całkując

Oczywiście

ln 0 = -Itr+lnCC¹). 0 = Ce~^kt.

1

Przewidując przejście do funkcji wykładniczej od razu piszemy stałą w wygodnej postaci ln C.