Matematyka 2 1

200 III. Rachunek całkowyfunkcji hi cl u zmiennych

y

A

C

B

3    *

Rys 7.14

= J(2-2l)dt+ J31nldt = ( 2t-t² )|‘=1

0

0

Przy wybranej przez nas drodze całkowaniu, obliczenie całki okazało su; bardzo prosie

A teraz przyjmijmy, źc krzywą całkowania jest odcinek o początku A=(0,l) i końcu B=(3,0). Wówczas

(3.0)

AB: x-3t. y = I -1, t €< O.ł > x'(D=3. y’(l)=-l

= j[3ln(2-2t + t²)

f_In(l+y2)dx+(^__2y)dy^.

0

Obliczenie otrzymanej całki oznaczonej wymaga, niestety, żmudnych rachunków’. Okazuje sic więc. że wybór krzywej całkowania ma w tym przypadku ważne znaczenie - może ułatwić lub utrudnić obliczenie całki.

Obliczając całkę krzywoliniową niezależni* od drogi całkowania metodą 2 warto pamiętać, że na ogół najlepiej jest przyjąć za krzywą całkowania łamaną o odcinkach równoległych do osi układu współrzędnych.    ■

ZADANIA DC) ROZWIĄZANIA.

1.    Obliczyć całkę krzywoliniową jxydx+xdy .jeśli

a)    K: x = t, y-r-l. le<-l_t2>,

b)    K jcsi lukiem paraboli y - x^:+x od punktu (0,0) do punktu (-2,2),

c)    K: x-cost. \ sint. t£<0.rt>.

d)    K jest lukiem krzywej y = Inx dla xc<l.e>.

2.    Obliczyć całki krzy woliniowe:

a) [(2x ♦ 3y)dx +(y- 1 )dy,jeśli K x = t, y = r. t e<0.2>.

K

b)    jyln(x-y)dx-3y“dy .jeśli K.jest odcinkiem o początku (1,0)

K

i końcu (-1,-2).

_c) |^±i₍j_x_Z_“dy. jeśli K jest łamaną ABC. A( 1,1), B(2.2), C( 1,2),

d)    jeśli K jest łamaną ABC. Al 1.1), B(3.l). C(2.0).

■ I \    — * x

X

_f 2 .

e)    f— dx—-,-dy. jeśli K: y = lnx. x €<e.e' >,

J X v*

K    *

0 Jvdx    —    dy. jeśli K jest skierowanym dodatnio okręgiem

k v*^:+y²

o równaniu x²+y²=l,

g)    |xydy,jeśli K: v = $inx, \€<0.n/2>,

K

h)    J(3x²-y)dx-ł-xdy,jeśli K jest lukiem elipsy -^--*>“ = 1 zawar-IC

tym w półplaszczy /nie y > 0. o początku (-2.0) i końcu (2.0),