037 8

Przykład 2

Oblicz pochodną funkcji f(x) — x² w punkcie x₀ = 7. f'(x) = 2x, zatem /'(7) = 2 • 7 = 14.

Ćwiczenie 2

Oblicz pochodną funkcji / w punkcie x₀.

a) f(x) = x³, x_(] = -5 b) f(x) = x₀ = ^ c) /(x) = £o = 1^ Ćwiczenie 3

Rozwiąż równanie /'(x) = 2.

a) /(.?;) = x²    b) f(x) = y/x    c) f(x) = ^

Równanie stycznej

Przykład 3

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f{x) = x² w punkcie (2,4).

Równanie stycznej zapisujemy w postaci y = ax + b i obliczamy jej współczynnik kierunkowy a:

f'(x) — 2x, zatem a = f'(2) = 2 • 2 = 4

Styczna ma więc równanie y — 4x + b. Aby wyznaczyć wartość 6, podstawiamy współrzędne punktu (2,4) do równania stycznej: 4 = 4 • 2 + b i stąd 6 = —4. Otrzymaliśmy równanie stycznej y — 4x — 4.

DEFINICJA_

Jeśli funkcja / ma w punkcie xq pochodną, to styczną do wykresu tej funkcji w punkcie (x'o,/(xo)) jest prosta o równaniu:

y - o) = f'(xo)(x - x₀)

5.9. Funkcja pochodna 289

Jeśli Po(xq,/(xo)) jest punktem styczności, a punkt P(x,y) dowolnym innym punktem stycznej, to tga =    • Jednocze

śnie tg a = f(xo), zatem: /'(*■>) =

Stąd y - f(xo) = /^/(x₀)(x - x₀).