041

Określ dziedzinę funkcji /. a następnie wyznacz jej pochodną i określ dzie-

dzinę pochodnej.
a) /(ar) -	4x+l	e) /(ar) =	6x-|-2	i) /W =	(x-2)^2
	2x+l		1—X^2		1— X
b) /(ar) =	x^2 1—2x	f) /(ar) =	2x^2 —x+l 3x—x^2	j) f(x) =	~—r + O.T—1	1 X
c) /(ar) =	5x—1 X^2	g) /W =	x^3—x^2 X^2 — 1	k) /(ar) =	1 1—X^4	2 X^3
d) /(ar) -	x^2+l	h) /(ar) =	x^3+x^2—x—1	1) /(*) =	3	1
	3x— 1		X+1		x^3 —2	4x^4

Określ dziedzinę funkcji /, a następnie wyznacz jej pochodną i określ dziedzinę pochodnej. Oblicz /'(1) i /'(4).

a) /(ar) = y/x(l - 2x²)    c) f(x) =    e) f(x) =

b) /(ar) = (y/x + l)(x - 5)    d) /(ar) = ²-~- f) /(ar) = y/x ■ x

5. Przeczytaj podany w ramce dowód wzoru na pochodną sumy funkcji.

Dowód

Wyznaczamy pochodną sumy funkcji / i g w punkcie Xq. (/(*») +s(*o))'= lim U^')+-^(^a;)l-[/bo>+gC^o)] -

x—>xq    a:—xq

[/(g)-/(=gQ)l + [g(g)-g(x_Q)] _ x-a;₀

= lim

X—J-CCo

= lim ZM-f(£0)_{+ ]iln} 9(x)-g(x₀) _=/,_{(    )+} ,_(    }

X—X(j    X-*X₀    x—xq    ^v '

Udowodnij wzór na pochodną różnicy funkcji.

6. Przeczytaj podany w ramce dowód wzoru na pochodną iloczynu funkcji. Dowód

Wyznaczamy pochodną iloczynu funkcji / i g w punkcie aro-(/(*.o) • ffOo))' = lim /(*>-g(»>-/(*o>-9(*o) ₌

X-^Xo    x — xq

_ p_m /(x)-g(x)-/(xo)-g(x) + /(xo)-g(x)-/(xo)-(_?(xo) _ x—>xo    x—xo

_ p_m f(v)-3(r')-f(xo)-9(x) _{+ lim} f(x₀)g(x)-f(x₀)-g(x₀) _

X—*Xq    X—Xq    x—>Xq    x — ®o

= hm —-g(ar)+ lim /(aro)-—^x——= f'(x₀)-g(x_Q)+f{xo)-g^,(x₀)

x->xq X—Xq    x-+xq    x~Xq

\__ ■ ___

Udowodnij wzór na pochodną ilorazu funkcji.

293

5.10. Działania na pochodnych