086(1)

W całym obszarze określoności funkcji y" > 0, wobec czego jej wykres jest wszędzie wklęsły.

VIII. Wykorzystując uzyskane wyniki sporządzamy wykres funkcji (rys- 75).    _ ^ _

3) I, II. Funkcja y = j' (x4- l)^z — ]/(w—l)² jest określona i ciągła na całej osi liczbowej.

III.    Jest ona funkcją nieparzystą, gdyż zachodzi ,y(—x) = -y(x); jej wykres będzie symetryczny względem początku układu współrzędnych.

IV.    Wykres funkcji przecina się z osiami układu współrzędnych tylko w początku układu.

Gdy x < 0, mamy y < 0, a gdy x > 0. to y > 0.

V.    a) Wykres funkcji nie ma asymptot pionowych.

b) Mamy

k = lim

V(x+l

oraz

y

X

lim -

b = lim {y—kx) — lim [f (x+l)²—]/(x— l)²] =

x~>Ą- co

(x+l)²-(x-l)²__

^lm yjx+if+y (x+i)²(x-1/+V(x~ o⁴

= lim

4_

V*

(Po sprowadzeniu niewyinierności do mianownika dzielimy licznik i mia-nownik przez xⁱ).

Podstawiając znalezione wartości k — b — 0 do równania asymptoty y=kx\-b otrzymamy równanie asymptoty poziomej y = 0. Taki sam wynik dostajemy także dla x -* —co.

VI. Pochodna funkcji

2    _±    2    _JL

₃    (*+l) ³-y(x-l) *

2    ]/_x- 1- j x+l

3    '

i nigdzie nie równa się zeru, nie istnieje natomiast w punktach x — ±1. Są to jednocześnie punkty krytyczne. Badając znak pochodnej / w ich otoczeniu

X	-5	-1	0	i	5
/	-	OO	*r	oo	_
y	mai.	min	roś.	max	mai.

stwierdzamy, że w punkcie .r = — ł funkcja ma minimum równe y_mi„ -= j(— 1) — — y^r4, a w punkcie x — 1 — maksimum równe y_max — y(l) — =F4.

Na lewo od punktu minimum, w przedziale (--oo, -1), i na prawo od punktu maksimum, w przedziale (1,-f oo), gdzie / < 0, funkcja jest malejąca, a między punktami minimum i maksimum, w przedziale ( — 1, 1), gdzie / > 0, funkcja rośnie.

Vli. Obliczamy drugą pochodną

2 -⁴ 2 --~    ⁱ+₉(x-l) ³

Pochodna ta jest rów na zeru, gdy x — 0, i nie istnieje w punktach x = ±1 • Punkty te mogą być odciętymi punktów' przegięcia. Badając znak y' w ich otoczeniu

*	— 5	-1	i >*» L	o	1 ^2	i	5
y"	-	— OO	-	0	-i-	+ 00	+
V	_ wyp.	me ma przeg.	wyp.	pkt przeg.	wki.	nie ma przeg.	wkl.

stwierdzamy, że ,\-    0 jest odciętą punktu przegięcia; odpowiednia war

tość rzędnej wynosi y(0) = 0.

Na lewo od punktu przegięcia, w przedziale ( co, 0), w którym y" < 0, wykres funkcji jest wypukły, a na prawo od tego punktu, w przedziale (0, + oo), w którym/' > 0, wykres funkcji jest wklęsły.

175