3582525249

Całkowanie funkcji

Liczenie całki z f(x), to szukanie takiej funkcji pierwotnej F(x), że jej pochodna jest równa /(x). W skrócie:

I f(x)dx = F(x) ponieważ F'(x) = /(x)

Przykłady:

C - dowolna liczba

f xdx = 5 X² + C J x² dx = | x³ + C J cos x dx = sin x + C

Wzory:

ponieważ x² + C)' = (|x²)^/ + (C)' — x » ponieważ    (|x³ + C)' = (gx³) + (C)' = a:²

ponieważ (sinx + C)' = (sinx)' + (C)' = cosx

Proste całki Przykłady:

I x^adx = 2

i + l

+ C

dla a 7Ó —1

J^r = In \x\ + C

j x²dx = — + C J: j xdx = — + C j" 1 dx = J x°dx = x + C

J —dx = 5 J —dx = 5 ln |x| + C

x³dx = — + C

/^ ^{= ll,|l + o| + c} /iT2 ^{= ln|l+2| + c} /^1 ^{= I,,|I}“^{4| + C}

je^xdx =

[ a^xdx =

J    Ina

e^x + C

+ C

J 2^Xdx

₂X

lii 2

+ C

,/⁵'

ln5

+ C

I ylyda; = ln |/(x)| + C ^ -^-jdx ⁼ ln l³^ + M + C

Całki funkcji trygonometrycznych

Z"

/tg:

sin x dx = — cos x + C tg xdx

dx

cos x

\ + c [ —

J COS

tgx + C

/cosxdx = sinx + C / ctgxdx = ln | sinx| + C I —— = — ctgx + C

J    J sin x

Różne

dx 1 a;

—t-—^ = “ ^arctS ~ + C t, + a^z a a

Przykłady

dx x

/ -^=arctgx + C

a/0				f dx /	r/x
				J x^2 + 4 ./	x^2 + 2^2
f dx	= -^ln 2 a	x — a	+ C	f dx 1	lnh"^1
J x^2 — a^2		x + a		./ x^2 - 1 ~ 2	|x +1

1    X

2    ^arctS '2 + ^C

dx

I11

/

+ C

x — \/5

dx

,-— arcsin — + C

>a² - x²    a

/

x² - 5    2\/5

dx

/

\/l — x² dx

x + \/5 = arcsin x + C

x

+ C

,    = arcsin —= + C

v/3

dx

'x² + q

■ I11 |x + \Jx² + ę| + C    / 7    = ln |x + \/x² + 7I + C

I    I J v^T7 I    I

Zadania + Rozwiązania