82290

Wniosek 5.3 Całkowanie nie jest działaniem jednoznacznym. Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f to będziemy oznaczać

J f(x) dx = F(x) + C

gdzie C jest dowolną stałą.

Przykład 5.1

/ :< -1,1 >-*n

/(*) =

i

1 ; x>0 -1 ; x < 0

nie ma funkcji pierwotnej na przedziale < —1:1 >.

W dalszej części wykładów wykażemy . że każda funkcja ciągła ma funkcję pierwotną.

Wniosek 5.4 Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną na A to (Vxe^ j-j }(x)dx = f(x)

Wniosek 5.5

feC'(A)=* J f(x)dx =f(x) + C

Podstawowe wzory całkowania otrzymujemy z tablic pochodnych.

Na przykład:

r    x°⁺¹

/ x°dx =-+C o^—l

J    a + 1

J - dx = In |x| + C

j cos x dr = sinx-f C f dx

/TT^^{=arc,gI + c}

Twierdzenie 5.1

Niech funkcje fig mają funkcje pierwotne na przedziale A . Wtedy:

^a)³f (f(^x)+9(^x))dx A j(/(x) +g(x))dx = J f{x)dx + Jg{x)dx

b) (VA- eU) 3 f k f{x) dx A J kf(x) dx = k j f{x) dx

Dowód :

ad a) Niecli F i G będą funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji fig.

Wtedy aj(F(x) + G(x)) = f(x) + g(x) , więc (F -f G) jest funkcją pierwotną funkcji / + 9 •

ad b) analogicznie

E/*/(»>*-£(*//(*)*>

Przykład 5.2

J (sin x + cos x + 1) dx — J sin x dx + J cos xdx + j dx = — cos x + sin x + x + C f (x + l)² ,    1 f dx _J 2/1    1 / 1 ,    1    , , ,    2    1

V “a?~^dx = IJ -J^dl + 3/ 3* ⁺ 3/ 3* " 3 ^{11 x} - 51 - O ^+c

33