DSC07085 (4)

100

Pochodne funkcji

Ponieważ pochodne jednostronne funkcji g nie pokrywają się, więc p'(0) nie istnieje.

c)    Funkcję h możemy zapisać w postaci:

_ f 2x^a - 4 dla i G (-oo, -2] U [2,oo),

“ \ 4    dla x«=i(-2.2).

Ponieważ funkcja 2x⁵ - 4 ma pochodną właściwą na [2, oo), więc

A+(2) = {W ^_4)'|,._a =    - ⁸‘

Ponadto

Otrzymaliśmy różne pochodne jednostronne, zatem pochodna funkcji /i w punkcie aro * 2 nie istnieje.

d)    Funkcję p możemy zapisać w postaci:

— x) sin x dla z<r, sin z dla x ^ x.

M*)

P(*)

_ f (»-*) sii

l (* - •*)«>

Ponieważ obie funkcje występujące w określeniu p przyjmują tę samą wartość w punkcie w, więc dla uproszczenia dalszych rozważań nierówność ostrą można zastąpić słabą. Mamy zatem

dla z^z, dla * % x.

Funkcje (x — z)sinx oraz (* — x)sinx mają pochodne właściwe odpowiednio na przedziałach (—oo,xj oraz (x,oo). Zatem

f (z-*)sinz \(z-z)«inz

P-(»)= [(»«) ««*]^#|

= [ - sin x + (x -x)caax]\_Mm9 = 0,

0.

p*(x) = [(x - x)sinx]'|^^ = [sini + (x - x)cosx]|_x-w =1 Otrzymaliśmy jednakowe pochodne jednostronne, zatem p'(x) = 0.

• Przykład 4.8

Znaleźć parametry a,6, c, dla których podane funkcje mają pochodne na R :

,    .    ( 4x    dla x < 0,

ar-Hl dU x<2.

>1 /(*)

-r"

l ox +

6 dla x >2 ;

b) $(*) = < oz² + bx + c dla 0 < x < 1,

3 — 2x

dla x > 1.

Rozwiązania

a) Łatwo zauważyć, że funkcja / rna pochodną na przedziałach (—oo,2), (2,oo). Funkcja ta będzie miała pochodną w punkcie .sklejenia" xo = 2, gdy będzie tam obustronnie ciągła oraz, gdy obie pochodne jednostronne w tym punkcie będą miały tę samą wartość. Najpierw znajdziemy warunki gwarantujące ciągłość funkcji / w punkcie zo = 2. Mamy

Przykłady

101

Stąd otrzymujemy równanie 2* + b = 3. Przechodzimy teraz do znalezienia warunków gwarantujących równość pochodnych jednostronnych w punkcie zo = 2. Załóżmy dalej, że funkcja / jest już ciągła w punkcie z₀ = 2. Zatem mamy 6 = 3-2a, stąd /(z) = <ix+3-2o dla x > 2. Ponadto, ze względu na to, że funkcja X² - 1 ina pochodną wloiciwą _na przedziale (—oo,2|, mamy

oraz

A(2)^ lim MzMa lin, + 3 — Ta) —_3 _ ^ ojx-2)_=<>

®-a*    * — 2    * — 2    *—z* * — 2

Stąd otrzymujemy a = 4. Ostatecznie a = 4, 6 = 3 — 2a = —6.

b) Łatwo zauważyć, że funkcja g ma pochodną na przedziałach (—oo.O), (0,1) i (l,oo). Fan kej a ta bidzie miała pochodną w punktach „sklejenia" x\ = 0, za = l, gdy będzie tam obustronnie ciągła oraz. gdy obie pochodne jednostronne pokryją się. Najpierw znajdziemy warunki gwarantujące ciągłość funkcji w punktach x\ = 0, xi = 1. Dla punktu X\ = 0 mamy

lim g(x) === lim 4* = 0, o(0) = 0, lim o(z) === lim (oz³ + 6z + c) = c.

■—o-    *—q-    x—o*    x—o*

Stąd otrzymujemy warunek c = 0. Podobnie dla punktu = 1 mamy

xl?T-    (oz³ + 6x + c) = a + 6 + c. g{ 1) = l.

lim g(x) =£= Um (3 — 2*) = 1.

'    *—l+

Stąd dostaniemy drugi warunek a + 6 + c = 1. Przechodzimy do znalezienia warunków gwarantujących równość pochodnych jednostronnych funkcji g w punktach *» = 0, *a = 1. Zakładamy przy tym, że funkocja ta jest już ciągła w obu punktach. Oznacza to, że spełnione są warunki 6 = 1 — a, c = 0. Stąd g(x) = oi³ + (l — o)z. Ponadto mamy

9-(°) = (‘>*)'|,₌o | i

oraz

flV(0) = Um    _Um ar> + (1 - a)x ^    _ ₀

*—X —O    X—0+-

Stąd otrzymujemy warunek 1 - a = 4, zatem a == -3 i w konsekwencji 6 = 4. Pozostało do sprawdzenia, czy dla otrzymanych wartości parametrów funkcja g ma jednakowe pochodne jednostronne także w punkcie x₂ = 1. Mamy g{x) = -3x^a + 4x dla 0 < x < l. Zatem

= Um (—3x + 1) — “2

X—1—

,l(i)£l Hm    Um =*?+**-1

oraz

S+ft) = (3 - 2x)'|_łtłl = —2,

czyli 3-(l) — 0+O)-

Przykład 4.9

tof.sł r

Zbadać, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe we wskazanych punktach a) /(*) = sin x₀ = 0; b) g(_x) =    *₀ = _{0; c}) /,(x) = </3g*. *o =