54487 S6300965

przy

kłady

■ granice jednostronne pokrywają się więc badana granica istnieje i jest rń\

^l*^,e . ___orrnnir ip.Hnnst.rnnnvrli    O.

WSP¹

,ólnej

_ważmy najpierw, że dla 0 < x < 1 mamy 1 — x >0 oraz x - i < o, zatem d) _ x³) — 1 oraz sgn (x³ — l) = —1. Podobnie, dla x > 1 mamy 1 — x² < 0 oraz l > 0, zatem sgn (l — x²) = — 1 oraz sgn (x³ — l) = 1. Przechodzimy teraz do

obliczenia

granic jednostronnych. Dla granicy lewostronnej mamy

lim

sgn (l - x²) _ sgn (x³ — 1)

lim

X —1~

-1

a dla granicy prawostronnej

lim ——

X —1+    1

sgn (l - x²)

lim -7~r--f

i—i+ sgn (x^J — 1)

Ponieważ granice jednostronne są jednakowe, więc badana granica jest równa ich wspólnej wartości, tj. —1.

e) Zauważmy najpierw, że |x + 2| = x + 2 dla x ^ —2 oraz |x + 2| = — (x + 2) dla x < —2. Zatem dla granic lewostronnej mamy

lim

x—2-

N + 21³

2 + x

x< — 2

lim

—(x 4- 2)³ 2 + x

= lim (—(x + 2)²) = -(-2 -f 2)² = 0,

x——2-    '

a dla granicy prawostronnej

lim

z—2+

\x + 2|³ 2 + x

x> —2

lim

x —-2+

(x + 2)³ 2 + x

= lim (x + 2)² = (-2 + 2)^a = 0.

x—-2+

Ponieważ granice jednostronne są jednakowe, więc badana granica jest równa ich wspólnej wartości tj. 0.

f) Dla granicy lewostronnej mamy

arc ^tg~T^) = ⁿ ~ ^9X0jjp = * ~ arctg(-oo) = n -    = -~

lim (z

X-*f” \

a dla granicy prawostronnej

* TT

7r — arc tg oo = ir — — = tt .

lim (x - arctg-= n — arctg — = t

*-»+ |    x - TT /    0⁺

Ponieważ granice jednostronne funkcji są różne, więc badana granica nie istnieje

Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

•j Przykład 2.6

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć podane granice:

yćl + X - y^l - X X

b) lim

x-*0

V .. X³ - X² + X - 1

aj hm —---•

x~>\ X³ + x² - X — 1

ę) lim

z~>00

\/'i + X + 2

v/T7F ^;

„    v^-10³.

lin —7=-~rx I

x-* 10® yX “ 10²

<0