img427 (3)

Powiemy, że funkcja f(x) = ——r ma w +oo granicę niewłaściwą równą +oo,

X "t" I

co zapiszemy lim f(x) = +qo. Natomiast dla ciągu (x_n), x_n * O i x_n * -1, dla

X->+oo

którego lim x_n = -oo, otrzymujemy

n—>oo lim f(x_n) = lim —¹—

n->oc/ ^v n' n->cc    1

1 + -

a więc funkcja tamaw-oo granicę niewłaściwą równą -oo,

lim f(x) = -oo.

X—>—CO

W świetle powyższych przykładów możemy więc przyjąć następującą definicję.

DEFINICJA 4.

1.    Niech funkcja / będzie określona w przedziale (a, +ao), oe/?. Funkcja / ma w plus nieskończoności (+oo) granicę g - co zapisujemy lim /(x) = g

-    wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (x_n), którego wyrazy x_ne(a, +oo) i lim x_n = +oo, prawdziwa jest równość lim f(x_n) = g.

n-> oo    n-»oo

Zapis symboliczny:

^def- A

lim f(x) =go A [(*„ e (a, +oo) a lim x_n = +oo) => lim f(x_n) = gj.

x->+oo    (x„)    fl->oo    n^oo

NUDZENIE S.

tell Istnieją granice (skończone) lim /(x) i lim g(x)oraz c jest dowolną

X—>-00    x—>—co

tbą rzeczywistą, to istnieją granice: lirnjc • /(x) ], \'\mjf(x) + g{x) ],

(przy dodatkowym założeniu,

[/(x)-g(x)j, Jim [/(x) • g(x)j, lim

*-*-» g{x)

lim g(x) * O) oraz prawdziwe są równości:

X-+~00

Jjm [c-/M] = ^c-_JJ!m,/M,

*)    ⁺ smi = J!eZ^m+

fi IJłI/M -®W1 = iiEjW ^

d) Hm [/(x) -g(x)j = lim /(x) • lim g(x),

⁹ x-^-QO^W    Z! \ I y x-»-<»    x->-oo

lim /(x)

_ X-»-=o    _

•) lim

/W

9 W

lim fif(x)

X—►—00

Analogiczne twierdzenie można sformułować i udowodnić dla granicy w +oo. Zajmijmy się teraz obliczaniem granic funkcji w nieskończoności. Metody są tutaj podobne do metod obliczania granic ciągów i ilustrują je następujące przykłady:

PRZYKtAI 7.

Wyznaczmy granice:

a) lim (x⁴ - 3x² + x -1), lim (x⁴ - 3x² + x -1);

X—>—OO    X—»+CO

, s X² + 3x -1    |;_ x² + 3x -1.

b) lim--— , lim — -r— ,

X->-oo 4 — X² x->+co 4 — X^

x - 3    , x - 3

c) lim

, lim

x->-oo x² - x + 4 *->^+co x² - x + 4

d) lim -_r , lim ——z- .

⁷ X—>-00 X — 1    X—>+00 X I

Ad a) Mamy lim (x⁴ - 3x² + x -1) - lim

x >—00    X—> -OO

4

+oo

1-4 +

4

1

= +00.

1

   Niech funkcja / będzie określona w przedziale (- oo, a), aeR Funkcja / ma w minus nieskończoności (-oo) granicę g - co zapisujemy lim /(x) = g

-    wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (x_n), którego wyrazy x„e(-oo, o) i lim x_n = -oo, prawdziwa jest równość lim f(x_n) = g.

n—>oo    /■}—-> co

Symbolicznie zapisujemy to tak: def- _A

lim f(x) =g^> A [(x„ e (-oo, a) a lim x_n = -oo) => lim /(x„) = gj.

W tej definicji dopuszczamy możliwość, że g = +oo lub g = -oo.

Można wykazać, że dla granic w nieskończoności prawdziwe jest następujące twierdzenie.