55330 img509 (3)

c jf() I oraz, że /'( I) 2. Wynika stąd, że:

] a) funkcja / ma dwa miejsca zerowe,

] h) funkcja / osiąga najmniejszą wartość w przedziale (0, 2) dla x = 0, ] e) funkcja / ma minimum lokalne dla x = 5.

Slyezna do wykresu funkcji /(x) =    (x e R):

] a) w punkcie /¹( 1, jVo) ma równanie x - 2y + 1 = 0,

I b) nie istnieje w punkcie, którego odcięta jest równa 0,

I e) w punkcie Q(4, 2) jest prostopadła do prostej o równaniu 2x + 7-1=0.

Niech k i l będą stycznymi do wykresu funkcji /(x) = -x²+x +2 (xe/?), poprowadzono w punktach A i B, w których wykres tej funkcji przecina oś odciętych. Oznaczmy w/. S punkt wspólny tych stycznych. Wówczas: la) 5(1,4),

b)    pole trójkąta ABS jest liczbą mającą postać 3^k, gdzie k e C,

c)    pole trójkąta ABR, gdzie /?^x₀    , jest równe polu trójkąta ABS dla każdego x₀ e R.

Rozważmy funkcje /(x) = x³ + ox² + 3x - 5, gdzie x, a e R. Wówczas:

a)    jeżeli \a\ = 3, to funkcja / ma jedno ekstremum lokalne,

b)    jeżeli \a\ > 3, to liczba maksimów lokalnych funkcji / jest równa liczbie jej minimów lokalnych,

c)    jeśli a = 0, to funkcja/ma przynajmniej jedno miejsce zerowe, będące liczbą z przedziału (0, 2).

10.    Niech f'(x) ' ¹ ,xt R { 1). Wobec logo:

x +1

□    a) dla dowolnej liczby rzeczywistej x e R { I) zachodzi nierówność J '(x) * (1

O b) dla dowolnych liczb x\, X2 różnych od -1 z nierówności x\ < x₂ wynika nicró' f(x\)>f(x₂),

O c) funkcja / jest malejąca w zbiorze R - {-1}.

11.    Funkcja / jest różniczkowalna w zbiorze R.

CU a) Jeśli funkcja / nie ma miejsc zerowych, to jej pochodna f też nie ma miejsc zero

□    b) Jeśli funkcja / ma miejsce zerowe, to jej pochodna f też ma miejsce zerowe

CU c) Jeśli funkcja / ma dwa miejsca zerowe, to jej pochodna f ma co najmniej miejsce zerowe.

12.    Jeżeli /(x) = |x² —5x + 7 |, to:

□    a) funkcja / ma minimum lokalne,

CU b) funkcja / ma maksimum lokalne,

□    c) Df *D_f

13.    Rozważmy siłę F działającą między dwoma punktowymi ładunkami <y, i </ dującymi się w odległości x od siebie. Wartość siły F w zależności od odległości x '

się wzorem F(x) = s———, gdzie x e R+, s jest pewną stałą. Wówczas:

x²

CD a) lim F(x) = +oo,

x-»0⁺

□    b) prosta y = 0 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji y = F (x),

CD c) funkcja F nie jest funkcją malejącą.

14.    Rozważmy prostopadłościany o podstawie kwadratowej, których suma d wszystkich krawędzi jest równa 12. Niech V(a) oznacza objętość prostopadłościai rego krawędź podstawy ma długość a. Wówczas:

CD a) największą objętość ma ten z prostopadłościanów, który jest sześcianem o kraw

Db) największa objętość takiego prostopadłościanu jest równa (liczbowo) polu o boku długości 2 i kącie ostrym 30°,

CD c) funkcja V ma tylko jedno ekstremum lokalne.

cosx

1

   2 I COS X I

Funkcja opisana wzorem /(x) = —--:

a)    jest funkcją stałą,

b)    jest różniczkowalna w przedziale

c) ma pochodną równą 0 we wszystkich punktach, w których ta pochodna istnieje.