0106

107

§ 2. Granica funkcji

I.    Przede wszystkim można zmodyfikować przeprowadzane tam rozważania. Dla przykładu uczynimy to faktycznie w stosunku do tezy 1° z ustępu 26.

Rozważmy funkcję f(x) określoną w obszarze SC, o punkcie skupienia a (¹).

1° Jeżeli dla x dążącego do a funkcja f {x) ma skończoną granicę A, to dla A>p (A<ą) dla dostatecznie bliskich a wartości argumentu x (różnych od a) również sama funkcja spełnia nierówność

(14)    f{x)>p    (f(x)<q).

Obierając dodatnie e<A—p {q—A), mamy

A — e>p    {A + s<q).

Ale na podstawie definicji granicy, do tego e znajdziemy takie S, że gdy \x—a\<6 (gdzie x należy do SC i jest różne od a), jest

A — £ </(X) < A + E .

Dla tych wartości x spełniona jest tym bardziej nierówność (14).

Czytelnik zauważył, że żadnych nowych pomysłów dla dowodu nie potrzeba.

Bezpośrednio można wyprowadzić stąd twierdzenia 2°, 3° i 5° podobne do odpowiednich twierdzeń z ustępu 26. Na przykład przyjmując w 1° p=0 (q=0) otrzymujemy:

2° Jeżeli dla x-*a funkcja f{x) ma skończoną granicę dodatnią {ujemną), to również sama funkcja jest dodatnia {ujemna) co najmniej dla wartości x bliskich a, ale różnych od a.

Słuszne jest również twierdzenie analogiczne do 4°, ale z pewnym ograniczeniem:

4° Jeżeli dla x-*a funkcja f {x) ma skończoną granicę A, to dla wartości x dostatecznie bliskich a, funkcja jest ograniczona,

\f{x)\<M'    (M' = const, |x — a\<d) .

Przypomnijmy, że poprzednio dla ciągu x_n o granicy skończonej nierówność \x_n\<M' była podobnie otrzymana tylko dla n>N, czyli tylko skończona ilość wyrazów ciągu mogła nie spełniać tej nierówności, ale zwiększając w razie potrzeby M' można było otrzymać nierówność ważną dla wszystkich x„. Tutaj tego uczynić na ogół nie można, bo wartości x, dla których \f{x)\>M', może być nieskończenie wiele. Na przykład funkcja f{x) = l/x (dla x>0) przy x->l dąży do jedności; oczywiście jest f(x)<2 przy |x— l|<i, jednakże dla wszystkich rozważanych wartości x funkcja /(x) nie jest ograniczona.

II.    Przechodząc do innych twierdzeń, w których zmienne łączone są znakami równości, nierówności lub działań arytmetycznych, powinniśmy przede wszystkim stwierdzić, że łącząc dwie lub kilka funkcji f{x),g{x),--- (określonych w tym samym obszarze SC) takimi znakami, rozumiemy zawsze, że ich wartości odpowiadają temu samemu argumentowi x.

Wszystkie te twierdzenia można by było analogicznie udowodnić w przypadku funkcji, ale — i to należy podkreślić — w istocie nie ma potrzeby takich dowodów. Jeżeli mówiąc

f¹) Liczba a może być również nieskończonością, ale dla ustalenia uwagi ograniczamy się tu do a skończonych.