00098480

252 UL FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Rozumując podobnie i korzystając z równości (111.37), otrzymamy

^mw

przy czym symbole pochodnych cząstkowych we wzorach (111.38) i (111.39) oznaczają wartości tych pochodnych w punkcie (*<>; y₀)

Porównując prawe strony równości (111.38) i (111.39), dostąjcmy ostatecznie

du

dx

dx

(Itl-40)

w punkcie (x„; y₀).

Równości (111.40) nazywają się warunkami (lub równaniami) Cauchy'ego-Riemama Udowodniliśmy zatem następujące twierdzenie.

Tw. Jcteli funkcja f(i) — u(x, y)+jv(x, y) ma w punkcie z₀ - x₀+Jy₀ P°~ chodną/’(z₀),^lo pochodne cząstkowe

dv

dx' dy ' ~Sx    óy

istnieją w punkcie (x₀; y₀) i spełniają warunki Cauchy ego-Riemama (111.40).

Spełnienie przez pochodne cząstkowe (111.41) w punkcie (jt₀; warunków (111.40), stanowi zatem warunek konieczny na to, żeby istniała pochodna f(z₀).

Rozważmy funkcję/{z) “Roz.		Mamy tu
		n(*,y) -
du	_0	j^._0
dx	dy	dx

a zalań warunki Gtudi/cgo-Riananna nie ą spełnione w tadnym punkcie płaszczymy Wynika •tąd, te w tadnym punkcie płaszczyzny nie tanieje pochodna rozwatanrj funkcji.

Uwaga Aczkolwiek pochodna funkcji tmtemwj uspotowtj /(») - Re a, otyli A*) " ^x

A*J — * iatmtBe oczywiście dla kaidej (mczywutei) warwśd x. Przykład len ma aa celu wyrotam-nie u Czytełn&a poglądu. te warunek tumana pochodnej f(s) )e»i warunkiem bardzo ałtoyni.

Istnienie pochodnych cząstkowych (UI.41) w punkcie (koi y_a) dwóch funkcji i(x, y) i o(k, y) i spełnienie pracz te pochodne warunków Cauchy'ego-Riemanna nie zapewnia istnienia pochodnej /'(*«) funkcji ftz) = tĄx, y)+Mx, y), a więc nie stanowi warunku wystarczającego na to, żeby pochodna /'(x₀) istniała.

*<*. y) ■ e(x. y) ■

fł dla xy-0 \o dla xy + 0

wigc pochodne cząstkowe <HL41) iatnieją i ipcłnifją w punkcie (0; 0) warunki (UL40), Wykato-my. ie pochodna funta# Az)- ■(».y)+M*.y) w tym punkcie nie istnieje. W tytn celu skorzystamy z definicji pochodnej (III.35) i z definicji Heinego granicy funkcji. Rozważmy zatem ciąg {z,} zbieżny do zeta, o wyrazach różnych od zera i taki, którego każdy wyraz o numerze nieparzystym spełnia warunek x.y. * 0, natomiast każdy wyraz o numerze parzystym spełnia warunek x«y. = 0. Odpowiadający temu ciągowi (z.) ciąg

/«>))

wartości ilorazu różnicowego (0T.34) jest następujący

- -fl+fl. 0, -<*+». 0, ...

Tl    *>

Ponieważ założyliśmy, że lim z. — 0, więc otrzymany ciąg jest oczywiście rozbieżny, a zatem pochodna /'(O) rozważanej funkcji nie istnieje.

Za pomocą równań Cauchy’ego-Hiemanna można zręcznie formułować różne warunki wystarczające na istnienie pochodnej/'(z₀).

Warunek wystarczający istnienia pochodnej f'(z₀)-

Tw, Jeteli funkcje u(x,y) i v(x, y) są róiniczkowalne w punkcie (x₀; y₀), a ponadto pochodne cząstkowe {III.41) spełniają w tym punkcie warunki (III.40), to funkcja f(z) = u(x, y)+jc(x, y) ma pochodną f(z₀).

DOWÓD. Jeżeli funkcje u(x, y) i e(x, y) są rótniczkowalne w punkcie (*#; y_e), to zachowując przyjęte poprzednio umączenia mamy

i ^ dx+ ~ dy+o,(\dt\) dx dy	(in.42)
^-dx+^-dy+oA\dzn dx dy	(11143)

przy czym oiflzlfl) I o,(Idzi) H to nieskończenie małe rzędu wyższego niż |<Jr|, gdy \dt\^\'Ax>+Ay¹-^0

(por. część U, str. 44), Skorzystamy teraz z warunków (HJ.40). Zastępując mianowicie w równości da    dv    do    du

(DŁ42) pochodną —przez--- osaz w równości (UL43) pochodną — przez ——, a następnie

iy    dx    oy    ox ,,

mnóż*: ot* strony równodd (HL43) przez J, otrzymamy kolejno

. da de du - -dx- — dy+a,(\Az\)

Stad

<dw »• dn+j dv i

de    da

J/tv - *~fadx+j— Ay+Jo,(\dz\)

~(dx+Jdy)+J (żłx4/dy)+o(ldz|) = |-^-+>-^-jjr+o((dxO