00098478

248 UL FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Z równości 011.31), z definicji 011.32) oraz z definicji granicy podwójnej funkcji dwóch zmiennych wynika, że jeżeli a — Reg, b *= Im#, *o = Rez₀, y_B ■= Imr₀, to (fim/fr) = g) —    «(*.y) = A    y) =>

P-*łł    P—N

Podamy teraz inną definicję granicy właściwej g funkcji/(z) w punkcie Zo, równoważną poprzedniej.

Dd. (Heinego). Liczbę g nazywamy granicą funkcji f{z) w punkcie t₀, jeżeli dla każdego ciągu {z,} zbieżnego do z₀, o wyrazach z, # r₀ i należących do dziedziny II funkcji f{z), dąg {/(zj} jest zbieżny do g.

Dla funkcji zmiennej zespolonej prawdziwe jest twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji

Del    f[z) jest ciągła w punkcie z₀ ■=» lim/(z) =/fz₀)

*-*n

Ciągłość funkcji f{z) w punkcie z₀ charakteryzuje zatem koniunkcja następujących trzech warunków:

istniejesz), istnieje lim /(z), lim/(z) —/(?<>)

Z uwagi na równość 011.31) łatwo jest zauważyć, że funkcj a /{z) j est ciągła w punkcie z₀ wtedy i tylko wtedy, gdy ciągłe jest w tym punkcie para funkcji 011.30).

Jeżeli funkcja /(z) jest ciągła w każdym punkcie pewnego zbioru to mówimy, że jest ciągła w tym zbiorze.

N» przykład ftmkejs Haiows

A*) - OI+b

JM ciągła oa cafcj płaoezyZme, ponieważ dla ksidejo zg

Km Ar) = to (m+b) - ała+t - /(i.)

Dalszych właściwości funkcji ciągłych zmiennej zespolonej nie będziemy tu systematycznie omawiać. Wiele z nich wynika natychmiast z odpowiednich właściwości funkcji dwóch zmiennych.

Określimy teraz granicę ntewlaiciwą.funkcji Ąz) w punkcie Zo-

Na zakończenie podamy informację o granicy funkcji f{z) w nieskończoności. Przypuśćmy, że rozpatrywana funkcja jest określona w pewnym sąsiedztwie nieskończoności, a więc w obszarze określonym nierównościami 0 < g < |f| < co.

Funkcja zlożona/(yj jest wówczas określona w pewnym sąsiedztwie S punktu 0,

& mianowicie w obszarze 0 < |zj <—.

Def. lim J\z) = lira / j Przykład

i+—

■7X'

iw

1. Co to jesj funkcja zespolona zmiennej zespolonej (krótko: funkcja zmiennej zespolonej). Omówić interpretację geometryczna takiej funkcji?

Ł Znaleźć część rzeczywistą u(x, y) i część urojona ofcr, y) funkcji: a) w — i*+z+9j.

w — z+1—/ dla |r| < 2, ,b) i» = 0<argz<-^-, d) w-Jz dla

3. Narysować przeciwdziedzinę funkcji:

1 < |z| < oo, c) w - 2Z⁵ dla 0 < |z| < I —l<Rex<l, Imz>0i

4- Podać definicję: a) Caucfay'ego, b) Heinego, granicy właściwej funkcji /(z) w punkcie Zo i wyjaśnić macanie geometryczne tych definicji.

5.    Udowodnić na podstawie definicji, że'; a) lim (2z+3) — 5—2/,

- = -2/.

z*+l    x^J+l

b) lim-= 0, c) lim —— =

*-/ *+/    .K ^Z+J

6.    Podać określenie ciągłości funkcji /(r): a) w punkcie, b) w zbiorze punktów.

7.    Udowodnić, ie fbnluje: ») w - k, k — stała, b). w=r, są ciągłe, a następnie udowodnić, że suma funkcji ciągłych oraz iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

n c.r"+4^i*“^-,+ ...    jest funkcją ciągłą na całej

9.    Podać określenie granicy: a) lim /(z) = w; b) Jim /(i) = g, g / co; c) lim /(i) = co.

10.    /(z) nazywamy funkcją ogrtaictaną w zbiorze łl, jeżeli istnieje taka liczba M, ie dla każdego ze fł jest spełniona nierówność !/(*)! < M. Podać przykłady funkcji, które są ograniczone i takich, które nie są ograniczone.

11.    Jeżeli funkcja w — /(z j odwzorowuje zbiór tt na zbiór SI' wzajemnie jednoznacznie, to w zbiorze Ot jest określona funkcja z — g(m), która każdemu punktowi w₀ efl' przyporządkowuje dokładnie jeden punkt r„ eQ, ten mianowicie, któremu funkcja/(r) przyporządkowuje punkt w„. Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do funkcji/. Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji:

a)    *>    c) w-.—.,

IŁ Jeżeli funkga { — p(z) odwzorowuje zbiór ił na zbiór A, natomiast funkcja w =/(t) odwzorowuje zbiór A na zbiór Q', to każdemu punktowi zbioru Ił jest przyporządkowany w ten