00098485

262    III. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Łatwo sprawdzić, te nie jest to funkcja holomorficzna, gdyż nie spełnia warunków Cauehy 'ego- Riemanna. Część rzeczywista E. i część urojona E, tej funkcji są natomiast klasy C* i spełniają warunki

~~ £*=-$-£, oraz —• (—£,)«= E, df ók ’    dy ’ dx

w każdym punkcie, z wyjątkiem początku układu. Pierwszy z tych warunków oznacza, źe pole (HI.53) jest bezwizowe, natomiast drugi, że pole to jest beziródhwe. Wynik* stąd, że w każdym prostokącie (a nawet —jak można wykazać — w każdym o rze jednospójnym) nie zawierającym punktu 0 istnieje taka funkcja V{x, y) nazywana potencjałem elektrostatycznym pola E, te

dV

dV

on.*) - y

oraz istnieje taka funkcja U(x,y), nazywana funkcją sil pola E, te E,--‘z i E..ę.

Potencjał V(x,y) i funkcja aił U(x,y) są to funkcje h a r •> tS oniczne, sprzężone ze sobą za pomocą równań

które są bezpośrednią konsekwencją warunków (111.54) i (Ilł.55). Wynika Stąd,' ■! te funkcja zmiennej zespolonej

F(z)- U(x,y)+jVlx,y) jest holomorficzna w rozważanym obszarze jednospójnym. Nosi ona nazwę potencjału zespolonego. Linie rodziny

V(x, y) — const

są to linie stałego potencjału, natomiast linie rodziny U(x, y) * cojist

są to linie sil. Każda linia jednej z tych rodzin jest ortogonalna do każdej linii drugiej rodziny.

Łatwo sprawdzić, że dla poła określonego wzorem (111.53) mamy

V(x,y) = -plnOcHyO+C,

oraz

lĄx,y) “ 2ę •rctg2L+C_ł przy czym dla prostoty ograniczyliśmy się do półplaszczyzny Re z > 0, co zapewni*

ciągłość funkcji arctgj. Potencjał zespolony pola (HI.53) jest więc określony w pół-plaszczyżnie Re z > 0 nasiępującym wzorem

f(a) = 2g (arc tg    -J In j/x^ł+y²j + C

czyli

F(z) = 2g(argz-yln|i|)+C    _{11LJ7)

gdzie C oznacza dowolną liczbę zespoloną. Limami stałego potencjału są tu okręg! [z| = consł, natomiast liniami sił—półproste argz *= const.

Powróćmy do wzoru (111.56). Ponieważ

^r« -1" +'1 - -*-*■ -

więc

E=    (III.S8)

Wzór ten wyraża zależność wektora E pola płaskiego od potencjału zespolonego F(z)\ kreska oznacza wartość sprzężoną.

Należy zaznaczyć, żc potencjały zespolone wprowadza się nie tylko w elektro-statycc, lecz takie w innych działach fizyki teoretycznej tam, gdzie mamy do czynienia z polami płasko-równoległymi- Oprócz elektrostatyki do działów takich należą w pierwszym rzędzie hydromechanika i aeromechanika.

ĆWICZENIA

1.    Podać deTinkjc funkcji holomorficznej w punkcie. Porównać holomorficzność funkcji JXi) w punkcie r* « istnieniem pochodnej/'(zo). Co to znaczy, ie funkcja jest holomorficzna w obszarze? Porównać holomorficzność funkcji w obszarze z istnieniem pochodnej funkcji w tym obszarze.

2.    Wykazać, że część rzeczywista i część urojona funkcji holomorficznej w pewnym obszarze są to funkcje harmoniczne w tym obszarze. Sprawdzić to bezpośrednio dla fonio?:

a) /Itr) - i*+r, b). Ar)-e», c)/)»=.—,    d)/(z)-ze-«.

3.    Podać definicję runkcji harmonicznych sprzężonych ze sobą. Podać przykłady takich

funkcji

4.    Omówić znajdowanie funkcji holomorficznej, gdy dana jest jej częćć rzeczywista albo

urojons. Znaleźć funkcję f[z) *= u+Jv, jeżeli:    a) » = *’-3xy\ b) v -= 6x*y-2y',

cj a = e¹ (zcosy-ysfaiy). Otrzymany wynik sprawdzić bezpośrednim rachunkiem.

3. Wyjaśnić interpretację geometryczną par funkcji harmonicznych sprzężonych ze sobą.

6.    Omówić interpretację fizyczną funkcji holomorficznej, nawiązując do analizy pola płasko-równoległego. Co to jest potencjał zespolony?

7,    Wykazać, że między wektorem E pola (111.53) oraz funkcją sil U tego pola, zachodzi następ«»cy **!*«* E - -]gn<5 U.