str021 (5)

§ 3. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 21

nktów z, spełniających nie-

iktu r₀ przedstawia wnętrze niego punktu z₀ (rys. 1.4). tbioru płaskiego £ (np. do

a f (z) imiennej zespolonej z. >r zaś £,, składający się ze irzeciwdziedziną). Mówimy ) zbioru £ na zbiór £_t. ażdej wartości ze E odpo-cję jednoznaczną nazywać inkcie z₀ zbioru £ granicę I z₀, odpowiedni ciąg war-

iikcji zmiennej rzeczywistej, cy sumy, różnicy, iloczynu : skończone w punkcie z₀. akcję (3.1) napisać w postaci

1 rzeczywistą oraz urojoną

y) ma granicę g = g, +ig₂ na v(x, y) mają odpowiednio

ie z₀, jeżeli wartość funkcji kcie, czyli jeżeli

iżdym punkcie tego zbioru.

Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) jest ciągła w punkcie z₀ = x₀ + iy₀, to zarówno część rzeczywista u(x, y) jak i urojona v(x, y) są ciągle iv punkcie (x₀, y₀) i odwrotnie.

Zadania przykładowe

Zadanie 3.1. Określić pole funkcji oraz jej część rzeczywistą i urojoną:

a) w = z² +1, b) w =

l + z

2 •

(1)

Rozwiązanie, a) Bierzemy pod uwagę funkcję

w = z² +1.

Zauważamy od razu, że funkcja nasza określona jest dla wszystkich z zespolonych, a więc polem jest cała płaszczyzna liczbowa. Podstawiając we wzorze (1) w = u+iv oraz z = x+iy mamy

u + iv = (x +iy)² + l, u + iv = x²+2ixy—y² + l,

(2)    u + iv = (x² — y² +1)+i2xy.

Porównując po obu stronach równości (2) części rzeczywiste i urojone, mamy

u = x²-y²+1, v = 2xy.

b) Funkcja

(3)

w = •

l + z²

jest określona dla wszystkich z zespolonych z wyjątkiem z_v = i oraz z₂ = ^— U a więc polem naszej funkcji jest płaszczyzna liczbowa po usunięciu punktów z_i = i oraz z₂ = — i. W celu znalezienia części rzeczywistej i urojonej naszej funkcji przekształcamy ją następująco :

1    1+ż²    1+ż²

(4)

w =

l + z² (l + z²)(l + ż²)    |1 + Z²|

Podstawiając w = u+iv, z = x+iy, z = x-iy, otrzymujemy ze wzoru (4)

1 + (x—ty)² _ l + x²-y²—2xyi ^{u + w}~ |1+(X +1»²|²    |(1 + x²—y²)+2xyi|² ’

1 + x²—y²—2xyi    l + x²—y²—2xyi

u + iv =

(5)

(V(l + X² - y²)²+4x²y²)²    (1 + x² - y²)²+4x²y²

l+x²—y² — 2xyi

u + w =

(x² + y²)² + 2 (x²—y ) +1