42675 str015 (5)

§ 2. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 15

b) Przyjmijmy

(2)    z (f) = cos 2/'+ i sin 21.

Oznaczając przez G(t) dowolną funkcję pierwotną funkcji (2), mamy

sin 21    cos 2f

^w 2 2

Stąd zgodnie ze wzorem (2.5) mamy 2

| (cos 21 + i sin 21) dt =    (sin 21 — i cos 2r)]f =

i

= ^(sin4 —icos4)—i(sin2 —icos2) =

= ^ [sin 4—sin 2 + i (cos 2—cos 4)].

Zadanie 2.4. Do zacisków źródła prądu zmiennego o napięciu U dołączony jest odbiornik złożony z opornika o oporności R i cewki o indukcyjności L połączonych ze sobą w szereg (rys. 1.1). Oporność R jest zależna od temperatury t według następującej relacji:

R — Ro(l +^a0»

gdzie R₀ i a są liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Przyjmujemy, że Im U — 0.

R(t)

.    o-CWY'*—Ł.

L

Rys. 1.1

Wyznaczyć funkcję określającą zmiany modułu natężenia / prądu elektrycznego w odbiorniku w zależności od temperatury t.

Rozwiązanie. Impedancja z odbiornika określona jest wzorem

z = R + ia>L,

gdzie gj>0 jest pulsacją prądu.

W rozważanym przypadku mamy

z = R₀ (1 + od) + icoL.

Natężenie I prądu w odbiorniku jest następującą funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej t:

1(0 =

U

R₀ (1 + a t) + icoL ’ a moduł powyższego wyrażenia wynosi

u

VRo(1+«0²+co²L²

1/(01 =