str019 (5)

§ 2. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 19

2. Obliczyć pochodną funkcji:

a) z — 2i— 1 + (1 +2i)t,    b) z = 2sinf + /e²',

c) z = (i+t²)e²‘,    d) z = i2sin2/+/te*.

3. Obliczyć całki:

2

o    o

a) J (cost + i2t)dt,    b) J [1 + (1 + i)t²~\dt,

c) j (cost+isint)dt, d) | (1 — ie^dt.

Odpowiedzi

1. a) Elipsę o równaniu b²x² + a²y² = a²b²,

b)    prostą o równaniu 2x—y—3 = 0,

c)    prostą o równaniu x = 2,

d)    odcinek łączący punkty A/,(0, 0) i M₂(l,2),

c) elipsa o równaniu («— b)²x² + {a + b)²y² = (a²—b²)²,

f)    okrąg o równaniu x²+y² = 4,

g)    okrąg o równaniu (x—2)² + (j + 4)² = 9.

2. a) z' = 1+2/,

b)    z' = 2cost+2/e²',

c)    z' = 2e²'(/²+ /+/),

d)    z' = /(4cos2/+e^, + /e').

3. a) l+iin², b) 2+1(1+0, c) 1+i, d) 2 +

e

i.

§ 3. Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Otoczeniem punktu z₀ = x₀ + iy₀ nazywamy zbiór wszystkich punktów z, spełniających nierówność

|z —z₀| <r,

gdzie r> 0.

W interpretacji geometrycznej otoczenie punktu z₀ przedstawia wnętrze koła o środku w punkcie z₀ i promieniu r (rys. 1.3).

Rys. 1.3

Rys. 1.4

2*