50098 str012 (5)

12 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Jeżeli każdej liczbie rzeczywistej t, należącej do pewnego przedziału    przyporządkujemy liczbę zespoloną

(2.1)    z = z(t) = x (t)+iy (l),

to mówimy, że w przedziale <<*,/?> została określona funkcja zespolona z — z(t) zmiennej rzeczywistej. Wzór (2.1) przedstawia odwzorowanie punktów przedziału (oi, P} na punkty płaszczyzny Oxy zmiennej zespolonej.

Równanie (2.1) jest równoważne parze równań rzeczywistych

(2.2)    x = x(t), y = y(t), oc^t^p.

Granicę i ciągłość funkcji z = z(t) określamy podobnie jak dla funkcji rzeczywistych. Pochodną funkcji z = z(r) w punkcie t₀ określamy wzorem:

(2.3)    Ato) = x'(t₀) + iy'(t₀).

Twierdzenie. Funkcja zespolona (2.1) zmiennej rzeczywistej t

1.    ma w punkcie t₀ granicę z(t₀) = .y(/₀) + i>(/₀),

2.    jest ciągła w punkcie t₀,

3.    ma ic punkcie t₀ pochodną z\t₀) = x'(t₀) + iy’(t₀),

4.    jest całkowalna w przedziale <a, /?>, przy czym mamy.

(2.3')    \z(t)dt = $ x(t)dt+i$ y(t)dt,

tx    a    a

wtedy i tylko wtedy, gdy obie funkcje rzeczywiste x(t) oraz y(t) spełniają odpowiednio wa-runki:

1.    mają w punkcie t₀ odpowiednie granice x(t₀) oraz y(t₀),

2.    są iv punkcie t₀ ciągle,

3.    mają w punkcie t₀ odpowiednie pochodne x’(t₀) oraz y'(t₀),

4.    są całkowalne vc przedziale <a,/?>.

Z ostatniej części powyższego twierdzenia oraz ze znanych własności całek funkcji rzeczywistych wynikają natychmiast własności:

Wniosek 1. Jeieli funkcja z(t) = .r (/) + iy(/) jest ciągła w przedziale <cc,/?>, to funkcja g(x) określona wzorem

X

(2.4)    z/ (t) = \z(t)dt dla ol^z^P

a

jest funkcją pierwotną funkcji z(t) w rozważanym przedziale.

Wniosek 2. Jeżeli G(t) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji z(t) = x(t) + iy(t) w przedziale <«,/?>, czyli G'(t) — z(t), to

P

Jz(0d/ = G(/ł)-G(«).

(2.5)