str013 (5)

§ 2. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 13

§ 2. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 13

f z (0 dt\ < J |z (0i clt = J Vx²(/) + y\t) dt.

Wniosek 3. Jeżeli funkcja z(t) — x(t)+iy(t) jest całkowalna »v <<*,/?>, to 00    0

(2.6)

Uwaga 1. Z powyższych rozważań wynika, że różniczkowanie i całkowanie funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej przeprowadzamy w ten sposób, że stosujemy te same reguły różniczkowania i całkowania co i do funkcji rzeczywistych, pamiętając o tym, że liczba i jest stałą.

Interpretacja geometryczna. Jeżeli funkcja z — z(t) jest ciągła i różna od stałej w przedziale <a,/?>, to zbiór punktów określony równaniem (2.1) nazywamy krzywą o początku z(a) i końcu z (fi). Równania (2.2) są wtedy równaniami parametrycznymi wspomnianej krzywej. Kierunek wzrastającego parametru nazywamy zwrotem krzywej (2.1). Zupełnie tak samo jak w dziedzinie rzeczywistej definiujemy luk regularny, krzywą regularną, krzywą zamkniętą oraz krzywą Jordana, czyli krzywą zamkniętą bez punktów wielokrotnych. Krzywą Jordana nazywamy skierowaną dodatnio względem wnętrza obszaru D, jeżeli w czasie obiegu krzywej w kierunku wzrastającego parametru mamy obszar D po lewej ręce. Krzywą regularną Jordana, skierowaną dodatnio, nazywamy krótko konturem. Styczna do krzywej (2.1) w punkcie z(f₀) ma równanie

(2.7)

z = z(t₀)+z'(t₀)t,    00 < t < co ,

i tworzy z osią Ox kąt (p równy argumentowi pochodnej funkcji, czyli

(2.8)    <p = argz'(f₀) ■

Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty z, oraz z₂ ma postać

(2.9)    z — z₁+(z₂ — z_t)t,    — co <f<od .

Zadania przykładowe

Zadanie 2.1. Jaką liczbę przedstawia równanie:

1

a)z = (l + i)f, b) z = H—i,

t

t — parametr rzeczywisty.

Rozwiązanie, a) Zastępując w naszym równaniu z przez (x+iy), mamy

x+iy = (1 + i)t, x + iy = t + it.

Porównując części rzeczywiste i urojone po obu stronach ostatniej równości, mamy

x = t,

y = t-

0)