IMGt41

145

§ 25* Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej

r,«+oo. Przyjmując r=(a,/(«)), z.=(x.,/(*„)) mamy wtedy r.-»ri

Z.-2

(i/pOO, i) ||(l/p(*.), 1)1 f

(0,1),

a więc (0, 1) jest wektorem stycznym do wykresu funkcji/w punkcie (a, f(a)), co nie jest możliwe, bo r(l,c)#(0,1) dla teł?. Zatem c,/+ co. Podobnie c,yt —oo. Załóżmy wobec tego, że ^elf. W tym przypadku

z«-2 _ (1, POO) (1, c_t)

ik-²ii iki. pw)ipiid,

co dowodzi, że (1, c,) jest wektorem stycznym do wykresu funkcji / w punkcie (o,/(a)). Stąd (l,c,)=f(l,c), teR, więc c,=c, tzn. lim p(xj=c, wbrew założeniu (7).

n-*«o

W ten sposób dowiedliśmy, że lim <p(x)—c. Podobnie dowodzi się, że lim <p(x)=c. Zatem istnieje f\a)=c.    ^x'^,'“

Zauważmy, że w twierdzeniu tym trzeba założyć ciągłość funkcji/w punkcie a, gdyż nie wynika ona z założonego istnienia stycznej postaci (6).

Na przykład funkcja

1

/(*>■

dla x=—, n=l, 2.....

ś    ⁿ

dla pozostałych xeR

jest nieciągła w punkcie x=0, a jej wykres ma styczną w punkcie (0, /(O))—(0,0) — jest nią prosta o równaniu y=0.

Twierdzenie 2 można bez trudu uogólnić na przypadek, gdy |pi||j■ Pozostaje również prawdziwe dla każdej przestrzeni Banacha Y o wymiarze dim Y< + ⁰⁰- Przestaje obowiązywać, gdy dim y= +oo (zob. ćwicz. 2).

Rysunek 8 ilustruje pojęcie prostej stycznej do wykresu funkęji w przypadku Y=R, rysunek 9 — w przypadku Y—R* (por. tw. 9).

li Analiza matematyczna