IMGt41

IMGt41



145


§ 25* Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej

r,«+oo. Przyjmując r=(a,/(«)), z.=(x.,/(*„)) mamy wtedy r.-»ri

Z.-2


(i/pOO, i) ||(l/p(*.), 1)1 f


(0,1),


a więc (0, 1) jest wektorem stycznym do wykresu funkcji/w punkcie (a, f(a)), co nie jest możliwe, bo r(l,c)#(0,1) dla teł?. Zatem c,/+ co. Podobnie c,yt —oo. Załóżmy wobec tego, że ^elf. W tym przypadku

z«-2 _ (1, POO) (1, ct)

ik-2ii iki. pw)ipiid,

co dowodzi, że (1, c,) jest wektorem stycznym do wykresu funkcji / w punkcie (o,/(a)). Stąd (l,c,)=f(l,c), teR, więc c,=c, tzn. lim p(xj=c, wbrew założeniu (7).

n-*«o

W ten sposób dowiedliśmy, że lim <p(x)—c. Podobnie dowodzi się, że lim <p(x)=c. Zatem istnieje f\a)=c.    x','“

Zauważmy, że w twierdzeniu tym trzeba założyć ciągłość funkcji/w punkcie a, gdyż nie wynika ona z założonego istnienia stycznej postaci (6).

Na przykład funkcja

1

/(*>■


dla x=—, n=l, 2.....

ś    n

dla pozostałych xeR

jest nieciągła w punkcie x=0, a jej wykres ma styczną w punkcie (0, /(O))—(0,0) — jest nią prosta o równaniu y=0.



Twierdzenie 2 można bez trudu uogólnić na przypadek, gdy |pi||j■ Pozostaje również prawdziwe dla każdej przestrzeni Banacha Y o wymiarze dim Y< + 00- Przestaje obowiązywać, gdy dim y= +oo (zob. ćwicz. 2).

Rysunek 8 ilustruje pojęcie prostej stycznej do wykresu funkęji w przypadku Y=R, rysunek 9 — w przypadku Y—R* (por. tw. 9).

li Analiza matematyczna


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matematyka0002 28.    Podaj definicję pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej oraz je
matematyka0002 28.    Podaj definicję pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej oraz je
matematyka0002 28.    Podaj definicję pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej oraz je
110 0 0 Treść kursu: Funkcje zmiennej zespolonej. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej. Krzywa na
img034 (5) Funkcje hiperboliczne Funkcje hiperboliczne - funkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolone
str039 (5) S 5. POCHODNA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 39 Zadania przykładowe Zadanie 5.1. Zbadać, czy
42675 str015 (5) § 2. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 15 b) Przyjmijmy (2)    
43608 str041 (5) § 5. POCHODNA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 41 Uwaga. Wzór (7) można otrzymać ze wzor
DSC70 (6) 2. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A Przekształcenie Laplace*a przyporządkowuje funkcji zmiennej
53313 str037 (5) 5 5. POCHODNA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 37 wychodzącą z punktu w0 = /(z0) = /[z(/
2 punkty Dane są funkcje / i g zmiennej rzeczywistej x, z niezerowym rzeczywistym współczynnikiem b:

więcej podobnych podstron