8 (18)

144

7. Ciągi i szeregi funkcyjne

f{e^,l}) — £ c„e^inl> (9 - liczba rzeczywista).

»-o

Wtedy sł rozdziela punkty zbioru K i nie znika w żadnym punkcie zbioru K, lecz mimo to istnieją funkcje ciągle określone na K nie należące do jednostajnego domknięcia algebry sf.

Wskazówka. Dla dowolnej funkcji/ e jd

2 n

= o

o

i własność ta przenosi się na funkcje należące do domknięcia algebry sd.

22.    Niech/ s M(a) na (a, b). Wykazać, że istnieją wielomiany P, takie, że

t

lim j|/ —PJ²dx =» 0.

(Porównaj z zadaniem 12 z rozdziału 6.)

23.    Niech P₀ = 0 i określmy dla n = 0,1, 2,...

<■...(«>-

Udowodnić, że lim Pjx) = |x| jednostajnie na <—1, 1>. (Czyni to możliwym udowodnić twierdzenie Stone’a— — Weierstrassa bez uprzedniego dowodzenia twierdzenia 7.26.)

Wskazówka. Wykorzystać tożsamość

M-JW*)- [W-^)][i-^y^]

dla dowodu, że 0 ^ P„(x) < P„₊,(x) < |x| przy |x| ^ 1 i że

<Xj.

przy |x| < L

24.    Niech X będzie przestrzenią metryczną z metryką d. Przyporządkujemy każdemu punktowi psX funkcję/, określoną przez

f_P(x) = d(x, p)—d(x, a) (x e X),

gdzie a jest ustalonym punktem X. Wykazać, że |/,(x)| < d{a, p) dla dowolnego x 6 X, a zatem f_pe<f(X). Udowodnić, że II/,-/Jl = d(p, ą) dla dowolnych p,qe X.

Jeżeli określimy <P(p) = /,, to <P będzie izometrią (tj. odwzorowaniem zachowującym odległości) z X na <P{X) es | V(X).

Niech Y będzie domknięciem <P(X) w ^cd(X). Wykazać, że Fjest przestrzenią zupełną.

Wniosek. X jest izometryczna z gęstym podzbiorem przestrzeni metrycznej zupełnej K (W zadaniu 24 z rozdziału 3 zawarty jest inny dowód tego faktu.)

25.    Niech ę będzie ciągłą ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną w pasie opisanym nierównościami 0 < x < 1, - oo<y<+oo. Wykazać, że równanie z warunkiem początkowym

y' = 9»(x, y),    y(0) = c

ma rozwiązanie. (Zauważmy, że założenia tego twierdzenia są słabsze niż założenia podobnego twierdzenia o jednoznaczności; por. zadanie 17 z rozdziału 5.)

Wskazówka. Ustalmy n. Określmy X/ = i/n, i * 0, 1, 2,..., n. Niech/, będzie funkcją ciągłą określoną na przedziale <0,1> taką, że/JO) «= c i

/»'(«) = <p(xhfM)    (x, < t < x_i+l),

niech dj(t)

Wybierzmy

a)    (M

b)    Ciąj ć) Pew

d)    Poru jednostajnie

e)    4.(t) 0 Zate

Funkcja 26. Udc

gdzie teraz c nierówności ' Wskazć