0375

377

§ 2. Własności funkcyjne sumy szeregu

w przedziale <a, £>) otrzymujemy

b    b    b    b    b

jf(x)dx = fu_l(x)dx+ ju₂(x)dx+ ... + fu„(x)dx+ fy„(x)dx.

a    a    a    aa

b    b

Suma n wyrazów szeregu (21) różni się więc od całki f f(x)dx o resztę f<p_K(x) dx.

a    a

Do dowodu równości (21) wystarczy tylko wykazać, że

b

(22)    lim f <p_n{x) dx — 0 .

i*-ao J

a

Ze zbieżności jednostajnej szeregu (3) wynika, że dla dowolnego e > 0 można dobrać taki wskaźnik N, że dla n > N nierówność

W*)l < «

zachodzi dla wszystkich x w tym przedziale. Wtedy dla tych właśnie wartości n będzie

IJ W.M dx| < j Ię>„(x)| dx < (b - a) e,

a    a

co dowodzi zależności granicznej (22).

Równość (21) można zapisać w postaci

J{J_MB⁽x)}dx=2{J_Mfl(x)dx},

a n=»l    u= 1 a

a więc w przypadku gdy szereg jest jednostajnie zbieżny, całka z sumy szeregu równa się sumie szeregu utworzonego z całek jego wyrazów lub inaczej, dopuszczalne jest całkowanie szeregu wyraz za wyrazem.

Jak i w twierdzeniu 1 żądanie zbieżności jednostajnej jest żądaniem istotnym, żeby zachodziła równość (21), tj. nie może być po prostu odrzucone. Nie jest ono natomiast warunkiem koniecznym. Szeregi (15) rozpatrywane w 431 są właśnie dobrą tego ilustracją. Obydwa te szeregi są zbieżne do funkcji/(x) = 0 niejednostajnie w przedziale <0, 1>. Całkując jednak pierwszy szereg wyraz za wyrazem otrzymamy sumę szeregu całek.

x    x

lim f 2n²xe~^nlxldx = lim (1 -e~^nl) = 1 mimo że    f f(x) dx = 0 .

o    o

Postępując analogicznie w przypadku drugiego szeregu otrzymujemy

dx

p nx    ln(l+n²)    p

lim J i+n²x^rdx = 2n =° = J /W

= l-x+x²-...+(-l)"x"+...    (0 < x < 1).

Ciekawy jest przykład szeregu: 1

l+x