0381

383

§ 2. Własności funkcyjne sumy szeregu

jest zbieżny w caiym przedziale i to nawet jednostajnie, 2) funkcja graniczna f (x) jest różnicz-kowalna i

f\x) = \im f'_n(x).

Jeżeli zapiszemy tę równość dobitniej

D {lim/,,(x)} = lim {Df_n(x)} ,

n~*co    n-»co

to widać wyraźnie, że mówimy tu o przemienności znaków granicy i pochodnej. Ponieważ pochodna też jest granicą, więc i to zagadnienie jest związane z przemiennością dwóch przejść do granicy.

Na zakończenie zauważmy rzecz następującą. Ze stanowiska szeregów nieskończonych, parametru naturalnego n nie można naturalnie zastąpić ogólniejszym. Inaczej wygląda sprawa, gdy mówimy o ciągu funkcji. Funkcję /„(x) można tu zastąpić przez funkcje dwóch zmiennych / (x, y), gdzie y przebiega dowolny obszar = {j} mający punkt skupienia y₀ (liczbę skończoną lub nie). Zbieżność do granicy dla n -* oo zastępujemy zbieżnością dla y -* y₀. Sformułowanie i dowód twierdzeń w tym ogólnym przypadku nie przedstawiają trudności. Do niektórych uogólnień tego rodzaju powrócimy jeszcze w rozdziale XIV.

437. Ciągłość sumy szeregu potęgowego. Bardzo ważnym przykładem zastosowania całej wyłożonej teorii jest badanie własności szeregów potęgowych. Ograniczymy się do szeregów potęgowych postaci

00

(31)    ^ a„ x" = a₀ + a_t x + a₂ x²+ ... +a_nx”+ ...,

i»—0

gdyż jak widzieliśmy w 403, szeregi ogólniejszej postaci 00

(31*)    ^ a„(x — x₀)ⁿ = a₀ + ^ai(* ^—*o) + ^fl2(^{x —} *o)² + ••• + a„(x - x₀)ⁿ + ...

i»— 0

można sprowadzić do postaci (31) za pomocą zwykłej zamiany zmiennej.

Niech szereg (31) ma promień zbieżności R > 0 [379]. Przede wszystkim można twierdzić:

1° Dla dowolnej dodatniej liczby r < R szereg (31) jest zbieżny jednostajnie względem x w przedziale domkniętym < —r, r).

Rzeczywiście, ponieważ r < R, więc dla x = r szereg (31) jest zbieżny bezwzględnie, tzn. zbieżny jest szereg o wyrazach dodatnich:

00

(32)    = laol + KI• r+\a₂\-r²+ ... +KI-rⁿ-l- ...

n-O

Dla |x| ^ r wyrazy szeregu (31) są co do bezwzględnej wartości niewiększe niż odpowiednie wyrazy tego szeregu, który odgrywa zatem rolę majoranty i według kryterium Weier-strassa szereg (31) dla podanych wartości x jest zbieżny jednostajnie.