0385

387

§ 2. Własności funkcyjne sumy szeregu

Obierzmy dowolną wartość x wewnątrz przedziału zbieżności szeregu wyjściowego, więc |*| < R i umieśćmy liczbę r' między |x| i R: |*| < r' < R. Ze zbieżności szeregu

£

o» r'ⁿ

— Oo+Ui r' + a₂ r'²+ ... +a_Br'"+ ....

wynika, że jego wyraz ogólny jest ograniczony

|a„| r'ⁿ < L (L = const, n = 1, 2, 3,...) .

Otrzymujemy zatem następujące oszacowanie wartości bezwzględnej n-tego wyrazu:

n |a„| • M"-^1 = n \an\-r'^n-	X	^B1 1 . L ■ —r —r ‘^n	X
	r	r r	r

«-l

szeregu (34). Szereg

jest zbieżny. Łatwo to zauważyć stosując kryterium d’Alemberta [368], jeżeli uwzględnimy, że \x/r'\ < 1. W tym przypadku szereg (34) jest bezwzględnie zbieżny. Stąd wynika, że promień zbieżności R^r tego szeregu jest nie mniejszy niż R.

Jeżeli teraz obierzemy dowolną liczbę r < R, to równocześnie będzie r < R'. Z 1° wynika, że szereg (34) jest zbieżny jednostajnie w przedziale <—r, r >, więc na mocy twierdzenia 7 z ustępu 435 w przedziale tym dopuszczalne jest różniczkowanie szeregu (31) wyraz za wyrazem. Ponieważ r < R zostało obrane w sposób dowolny, więc zasadnicza teza twierdzenia jest udowodniona.

Gdy szereg (34) jest zbieżny, na przykład dla x = R, to zbieżność ta jest jednostajna [5°] w przedziale <0, R) i twierdzenie 7 stosuje się do całego tego przedziału: różniczkowanie wyraz za wyrazem jest dopuszczalne również dla x = R.

Uwaga. Przekonaliśmy się o tym, że R' ^ R. Z drugiej strony, wyrazy wyjściowego szeregu (31) są nie większe co do bezwzględnej wartości od odpowiednich wyrazów szeregu 00

^na„ x" = Oi x+2a₂ x²+ ... +na„ x"+ ...,

n—1

mającego ten sam promień zbieżności co i szereg (34). A więc R > R'. Tak więc ostatecznie R' = R: promienie zbieżności szeregu potęgowego (31) i szeregu (34), otrzymanego z niego przez różniczkowanie wyraz za wyrazem, są równe. Łatwo to zresztą udowodnić za pomocą

twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda [380], jeżeli przypomnimy sobie, że y//T -*■ 1, gdy n -* oo [32, 10)].

Ponieważ szereg (31) otrzymujemy różniczkując szereg (33) wyraz za wyrazem, więc szeregi te mają ten sam promień zbieżności.

Ostatnie twierdzenie 8° pozwala na wielokrotne kolejne różniczkowanie szeregu potęgowego. Tak więc oznaczając jak poprzednio przez /(*) funkcję przedstawioną sze-