3226794623

Wyrazy szeregów zbieżnych bezwarunkowo można dowolnie przestawiać nie powodując zmiany sumy szeregu S. Przestawianie kolejności wyrazów szeregu zbieżnego warunkowo pozwala otrzymać jako sumę nowego szeregu inną z góry zadaną liczbę ewentualnie szereg rozbieżny.

Wynika stąd. ze:

(i)

[(zh.^Ta- A zb.^a+) <=> zb.^Ja„|J => ^a„ = ^a~ + aj )

(2) |( zb.a_n A ib,^aj) V (rb.^T«„ A zb.^n/, j j => rb.^a,,

(3)    (rb.^a,, A rb.^aj) => (warunkowo zb.^a„ V ib.^a„ j

W szeregu o wyrazach dodatnich (w przeciwieństwie do szeregu o wyrazach różnych znaków). łączenie wyrazów w grupy oraz zmiana kolejności składników, nie ma wpływu na zbieżność tego szeregu ani nie zmienia wartości jego sumy S.

Przykład

Poniższy szereg jest rozbieżny, gdyż ciąg sum częściowych (S„ ) przybiera na przemian wartość zero

(dia parzystej ilości wyrazów) oraz wartość jeden (dla nieparzystej ilości wyrazów).

00 n= 1

Łącząc wyrazy szeregu w nowe grupy (nowe składniki nowego szeregu) otrzymujemy dwa zbieżne szeregi o różnych sumach, wynoszących odpowiednio:

-    dla parzystej ilości wyrazów: (1 - 1) + (1 - 1 )+... = O

-    dla nieparzystej ilości wyrazów: 1 - (- 1 + 1)- (- I + 1) + ... = 1.

Zbieżność szeregów zapewnia zbieżność ich sumy, ale twierdzenie odwrotne nie zachodzi, gdyż: suma szeregów rozbieżnych może być szeregiem zbieżnym.

3. SZEREG PRZEMIENNY

Szereg przemienny - jego składnikami są wyrazy na przemian dodatnie i ujemne. Zapisujemy go wzorem:    Z(—l)^w • o,, lub Z(^—1)” ¹ * ^an dla a_n ■ o,,** > O.

4. SZEREG GEOMETRYCZNY

Szereg geometryczny - jego składnikami są wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego.

00

Zapisujemy go wzorem:

y a_l • qf”^-1 = a_x + a_:g + a_xq¹ + ... + a₁qⁿ~² + ...

?i=i

gdzie:    flj - pierwszy wyraz szeregu geometrycznego, ą - iloraz szeregu geometrycznego.

Szereg geometryczny X?7=l aj • qⁿ~² jest zbieżny dla \q\< 1 (posiada wówczas skończoną sumę S). Suma szeregu geometrycznego Sjest równa granicy /i-tej sumy częściowej S« ciągu geometrycznego.

dla \q\ < 1 dla |(/| > 1

n

S = lim S„ = lim y a_A qⁿ~^x

11— CO    II —CO Zmmi

11 = 1

CO

ai + a_tq + a_xq¹ + ..■ + a₁q^{n 1}

gdzie: S„ = a, ^ = ZIUi • q" ²

Zastosowanie - np. przy zamianie ułamków dziesiętnych nieskończonych okresowych na zwykłe: 5,0(34) = 5 + 0,034 -ł- 0,00034 + ... = 5 +    + ĆI2 ~b ^3 ~b •• •

0,00034 a₂    ci_x 0,034    34    17

0,034 ~ap^<?_°’^{01 3 S} “ 1 - q ⁼ 0,99 ⁼ 990 ⁼ 495

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk    - 88 -

5, 0(34) = 5 + S = 5

17

495

w w w. ma tern atyka. sosno wiec.p I

1

+co v brak

2

~q