0371

373

§ 2. Własności funkcyjne sumy szeregu

[porównaj 428, 5) i 2)] mają w przedziale <0, 1 > skończoną sumę 0, chociaż obydwa są w nim zbieżne niejednostajnie.

Są jednak klasy przypadków, gdy zbieżność jednostajna jest konieczna. Udowodnimy tu następujące twierdzenie, którego dowód podał U. Dini.

Twierdzenie 2. Niech wyrazy szeregu (3) będą ciągle i dodatnie w całym przedziale 9C = (a, by. Jeżeli szereg ma sumę f (jr) także ciągłą w całym przedziale, to jest on jednostajnie zbieżny w całym przedziale.

Dowód. Rozpatrzmy resztę szeregu (3):

00

“kW =f{x)-f„(x) .

k=H+l

Funkcja %(x) zmiennej x jest także ciągła jako różnica funkcji ciągłych. Z uwagi na do-datniość wyrazów szeregu ciąg {!?„(*)} jest przy stałym x malejący (nierosnący):

7>i(x) > <P₂(x) 5= ... > <p„(x) ^ <p_K+1(x) > ...

Wreszcie, ponieważ przy stałym x szereg (3) jest zbieżny w przedziale SC, więc

lim q>j(x) = 0.

»-*00

Aby wykazać jednostajną zbieżność szeregu wystarczy udowodnić, że dla każdej liczby e > 0 istnieje chociażby jedna wartość n, dla której nierówność <p„(x) < e zachodzi jednocześnie dla wszystkich x (ponieważ wtedy dla większych n nierówność na pewno będzie spełniona).

Dowód przeprowadzimy nie wprost. Przypuśćmy, że dla pewnego e > 0 nie ma takiego wskaźnika n. Wtedy dla dowolnego n = 1,2, 3,... znajdziemy w przedziale SC taką wartość x = x_n, że <p_n(x_n) > e. Do ciągu {*„}, którego wszystkie wyrazy są zawarte w przedziale skończonym, zastosujemy lemat Bolzano-Weierstrassa [41] i wybierzemy z niego podciąg {x„J zbieżny do pewnej granicy x₀.

Ponieważ <p*(x) jest funkcją ciągłą, więc

lim <p_m(x.) = <p_m(x₀) ,

k-oo

dla każdego m. Poza tym d]a dowolnego m i dostatecznie dużych k mamy: n* > m, więc <p_m{x_n) > <p„(,x„) > c .

Przechodząc do granicy dla k -*• oo otrzymujemy

lim <pjx„) = <p_m(x₀) > e .

k-*oo

Ta zaś nierówność zachodząca dla dowolnego m jest sprzeczna z tym, że

lim <p_m(x₀) = 0.

m-*oo

Twierdzenie zostało więc udowodnione.