0373

375

§ 2. Własności funkcyjne sumy szeregu

Oczywiście

l?’._I(-*o)l < e •

Jeżeli x należy do przedziału (a,_t, ó_l#), to także

IPa.U)! < «•

Można teraz dobrać taką liczbę ó>0, żę dla |jc—x₀l<<5 nie tylko x zawiera się w danym przedziale, lecz również pierwszy składnik po prawej stronie (12a) będzie <e, a więc

|/(*)-/(xo)| < 3e.

Ciągłość f(x) w punkcie x₀ została udowodniona (*).

Z twierdzenia tego otrzymujemy łatwo jako wniosek twierdzenie Diniego z poprzedniego ustępu. Rzeczywiście, jeżeli szereg (3) składa się.z dodatnich funkcji ciągłych i jest zbieżny do ciągłej sumy, to jak widzieliśmy, zbieżność musi być quasi-jednostajna.

Korzystając z tego, że w danym przypadku reszty q>,(x) maleją ze wzrostem n, wystarczy wziąć wskaźnik Zwiększy niż wszystkie n_t (i = 1, 2,.... k) żeby dla n>N nierówność (6) była spełniona jednocześnie dla wszystkich x z SC. Zbieżność jest więc jednostajna.

433. Przejście do granicy wyraz za wyrazem. Podamy jeszcze jedno twierdzenie będące uogólnieniem twierdzenia 1. % = {jc} jest teraz dowolnym zbiorem nieskończonym mającym punkt skupienia a (skończony lub nieskończony) [52], który sam może do zbioru nie należeć.

Twierdzenie 4. Niech każda funkcja u„(x) (« = 1, 2, 3,...) będzie określona w obszarze 9t i ma granicę skończoną, gdy x dąży do a;

(16)    lim u„(x) = c„ .

x—a

Jeżeli szereg (3) jest zbieżny w obszarze 9C jednostajnie, to 1) szereg utworzony z. tych granic (C)    I/« ^{= c}’

Jł=l

jest zbieżny i 2) suma f(x) szeregu (3) też ma granicę, gdy x -* a, a mianowicie

(17)    lim / (x) = C .

x-a

Dowód. Z warunku zbieżności jednostajnej z ustępu 429 wynika, że dla dowolnie obranego e > 0 istnieje taki wskaźnik N, te dla n > Ni m = 1, 2, 3,... nierówność (8) jest spełniona dla wszystkich x z $£.

Przechodząc tu do granicy, dla x -» a, i uwzględniając (16), otrzymujemy

|^cn+l +C_n+2— + C„+_m\ < fi,

więc dla szeregu (C) warunek zbieżności [376] jest spełniony.

Jeżeli C, C„ i y„ oznaczają, jak zwykle, sumę, sumę częściową i resztę szeregu, to

C = C_n+y_n.

(') Jak czytelnik zauważył, z założenia, że wszystkie wskaźniki n, można wybrać dowolnie duże, w rzeczywistości nigdzie nie korzystamy.