0361

363

§ 1. Zbieżność jednostajna

wartości x, lecz takie własności funkcyjne funkcji granicznej. Żeby czytelnik mógł z góry wiedzieć jakiego rodzaju zagadnienia przy tym powstaną, przytoczymy dla przykładu jedno z nich.

Przypuśćmy, że wszystkie wyrazy ciągu (1) są funkcjami ciągłymi zmiennej x w pewnym przedziale 9C = <a, ń>; czy gwarantuje to ciągłość funkcji granicznej? Jak widać z następujących przykładów własność ciągłości czasami przechodzi na funkcję graniczną, a czasem nie.

Przykłady. We wszystkich przypadkach X = <0,1).

O /»(■*) = *"» /(*) — 0 dla jc < 1 i /(1) = 1 (nieciągłość dla x = 1).

2)    f_n{x) = ~7 ~—, f(x) = 0 dla x>0 i /(O) = 1 (nieciągłość dla x — 0).

l+nx

3)    fJx) — —^WX , , f(x)=0 dla wszystkich x (wszędzie ciągła).

1+n²x²

4)    f_n(x) — 2n²x• e~"^lx\ f(x)=0 dla wszystkich x (to samo).

Naturalnie powstaje zagadnienie: ustalić warunki, przy których funkcja graniczna zachowuje ciągłość; tym zagadnieniem zajmiemy się w 431 (i 432).

Widzieliśmy już [362], że rozpatrywanie szeregu liczbowego i jego sumy jest tylko inną formą badania ciągu liczbowego i jego granicy. Rozpatrzmy teraz szereg, którego wyrazami są funkcje tej samej zmiennej x w pewnym obszarze X:

00

(3)    = u_t(x) + u₂(x) + ... + u,,(x) + ...

II—1

Przypuśćmy, że szereg ten jest zbieżny dla każdej wartości x z X; wtedy jego suma /(x) też jest pewną funkcją zmiennej x. Suma ta będzie określona przez równość graniczną postaci (2), jeżeli przez /„(x) będziemy rozumieli sumę częściową

(4)    /■(•*) = u_ł(x)+u₂(x)+ ... +u„(x) .

Na odwrót, funkcję graniczną dla dowolnie przyjętego ciągu (1) można badać pod postacią sumy szeregu (3), jeżeli przyjmiemy

«lW=/lW. «₂(x) =/₂(x)-/i(x),    ...,    U.(x) =/_n(x)-/„-,(x) ...

Najczęściej będziemy mieli do czynienia z szeregami funkcyjnymi, ponieważ ta forma badania funkcji granicznej jest zwykle w praktyce wygodniejsza.

Należy tu również podkreślić, że przedmiotem naszych dalszych badań będą nie tylko zagadnienia zbieżności szeregu (3), lecz i własności funkcyjne jego sumy. Jako przykład może służyć zagadnienie ciągłości sumy szeregu, przy założeniu ciągłości wszystkich jego wyrazów; jest to właśnie zagadnienie, o którym wspominaliśmy uprzednio.

Jak się okazuje, własności funkcyjne funkcji granicznej (lub co na to samo wychodzi, sumy szeregu) f(x) istotnie zależą od samego sposobu zbliżenia się f„{x) do f(x) dla różnych wartości x. Badaniem typowych możliwości, które tu występują, zajmiemy się w następnym ustępie.