Strona2

364 X!!. CUg! i szeregi funkcyjne [428

■128. Zbieżność jednostajna i niejednostajna. Przypuśćmy, że równość (2) zachodzi dla wszystkich x z J\ Z samej definicji granicy -wynika: jeżeli tylko ustalimy wartość x z & (ażeby mieć do czynienia z konkretnym ciągiem liczbowym), to dla dowolnego e>0 znajdziemy taki wskaźnik iV, że dla wszystkich n > iV spełniona jest nierówność

(5)    !/„(*)—/(*)i < e, gdzie przez x rozumiemy właśnie tę ustaloną uprzednio wartość.

Biorąc inną wartość x otrzymamy inny ciąg liczbowy. Dla tego samego s otrzymany wskaźnik iV mógłby się okazać nic odpowiedni, musielibyśmy więc zastąpić go większym. Lecz x przebiega nieskończony zbiór wartości, otrzymamy więc również nieskończony zbiór różnych ciągów liczbowych zbieżnych do granicy. Dla każdego z nich z osobna znajdziemy odpowiednie ;V. Powstaje pytanie: czy istnieje taki wskaźnik iV, który ^dla zadanego z góry g) nadawałby się dla wszystkich ciągów jednocześnie?

Pokażemy na przykładach, że w pewnych przypadkach taki wskaźnik N istnieje, w innych zaś nie.

i) Niech najpierw

/,(*) = -—t—j,    lim/„(x)=.0    (0«£x<l).

1 + rc x

Ponieważ

0 </,(*)

1 2nx \ 2n l-ł-n*.vⁱ^2n

widzimy od razu, że na to by nierówność f„(.x) < s była spełniona dla dowolnego x wystarczy przyjąć n > l/2e. Tak więc,, na przykład liczba .V=*£(l/2e) w rym przypadku nadaje się dla wszystkich x jednocześnie.

2) Niech będzie teraz [427, 3]:

/.(*)=,    lim/„(x) = 0    (0    <J).

Dla dowolnego ustalonego x>0 wystarczy przyjąć n > £(\jxs), żeby zachodziła nierówność /„(*) < ijnx<g. 2 drugiej jednak strony jakiekolwiek weźmiemy /r,. zawsze znajdziemy w przedziale <0, 1> taki punkt, a mianowicie x= !/'n,którym funkcja /,(x) przyjmuje wartość [tzn. /,(!/«)-+].

Tak więc. za cenę zwiększenia n w żaden sposób nie możemy osiągnąć tego, by fjx) < } dla. wszystkich wartości x od 0 do ! naraz. Innymi słowy już dla s=+ nie istnieje taki wskaźnik .V, który nadawałby się dla -wszystkich x jednocześnie.

Na rysunku 59 pokazane są -wykresy tych funkcji dla n = i i dla n=40: charakterystyczny lec: garb o -wysokości + przesuwający sie ze wzrostem n w ie-wo. Chociaż aa każdej prostej pionowej z osobna, punkty ciągu krzywych wraz ze wzrostem n zbliżają się nieograniczeaie do osi .c. żadna krzywa -v caiośc: nie przywiera do tej ost na całym odciaku od x=0 do x= I.

Inaczej wygląda sprawa z funkcjami rozpatrzonymi w l); nie podajemy ich.wykresów, bo na przykład dla n = 4 łub n = 40 można je otrzymać z wykresów podanych na rys. 59 zmniejszając wszystkie rzędne odpowiednio 4 lub 40 razy. W tym przypadku krzywe od razu w całej rozciągłości przywierają do osi x.

Podamy teraz podstawową definicję.

Jeżeli 1° ciąg (I) ma w Z funkcję graniczną/(.t) i 2° dla każdego e>0 istnieje taki niezależny od x wskaźnik ;V, ze dla n> N nierówność (5) jest spełniona dla wszystkich x z Z jednpfeeśnie. to mówimy, że ciąg (1) jest zbieżny [lub że dąży] do funkcji f{x) jednostajnie względem x w obszarze X.

Tak więc. w pierwszym z podanych przykładów f\(x) dąży do zera jednostajnie względem x w przedziale <0. ł>, a w drugim nie.

Trzeba powiedzieć, żc i dla innych funkcji rozpatrywanych w poprzednim ustępie zbieżność nie jest jednostajna. Wykażemy to.

3)    Dla funkcji /,(x) = x" [427, 1)] nierówność x' <e (dla e< 1) nie może być spełniona

jednocześniedla 'wszystkich x < l.co widać chociażby z tego, że    gdy (przy ustalonym

n) .t->T. Na rys. 60 uwidoczniony jest ten swoisty charakter naruszenia jednostajności; funkcja graniczna zmienia się tam skokiem, a garb jest nieruchomy.

Niech

4)    /«(■*) “ 7“—

1 4- nx

lub

5) /ąC*)-2jrx-*-^I'\

Niemożliwość w przedziale <0. 1> jednostajnego przybliżenia do funkcji granicznej, która w obu przypadkach dla x >0 jest równa 0, 'wynika z '.ego. żs odpowiednio

/ 1 \ 1

^f\T)^mT ^lub