32656 Strona1

ROZDZIAŁ XII

CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

§1. Zbieżność jednostajna

427. Uwagi wstępne. W poprzednim rozdziale zapoznaliśmy się z ciągami nieskończonymi i ich granicami oraz szeregami nieskończonymi i ich sumami. Wyrazgmi tych ciągów i szeregów byty liczby staie. Co prawda w niektórych przypadkach w ich skład wchodziły, jako parametry, pewne wielkości zmienne, lecz w trakcie badań zawsze przypisywaliśmy im określone wartości stale. Więc na przykład gdy ustaliliśmy, że ciąg

x

1+-,

1

ma granicę er, lub że szereg

x

T

!)•	-. H)'
3	n

ma sumę In (1 -r.t), x było dla nas liczba stalą. Funkcyjnej natury wyrazów ciągu i jego granicy lub wyrazów szeregu i jego sumy me braliśmy w ogóle pod uwagę. Przypuśćmy, że dany jest ciąg. którego wyrazami sa funkcje

(i)    /»(¹). Ji(x),    /„(k),    ...

tej samej zmiennej x, określone w pewnym obszarze zmienności X = {jc} (^l). Niech dla każdej wartości x z X ciąg ten ma granicę skończoną. Ponieważ jest ona całkowicie wyznaczona przez .r, 'więc jest też funkcją r(w|j;

f2>    f(x)= lun/„(¹),

•-•eo

będziemy ją nazywali funkcją graniczną ciągu (i) (lub runkcyj f„{x)).

Teraz, będzie aas interesowało nie tylko samo istnienie granicy dla każdej poszczególnej

wartości x, iecz także własności funkcyjne funkcji granicznej. Żeby czytelnik mógł z góry wiedzieć jakiego rodzaju zagadnienia przy tym powstaną, przytoczymy dla przykładu jedno z nich.

Przypuśćmy, że wszystkie wyrazy ciągu (1) są funkcjami ciągłymi zmiennej x w pewnym przedziale Z = <a, ó>; czy gwarantuje to ciągłość funkcji granicznej ? Jak widać z następujących przykładów własność ciągłości czasami przechodzi na funkcję graniczną, a czasem nie.

PRZYKŁADY. We wszystkich przypadkach Z=(0, 1>.

1)    /,(x)= r",/(.r) =0 dla .r<l i /(1)=1 (nieciągłość dla x=l).

2)    /„(.*)——-—, /(x)=0 dla x>0 i /(0)=1 (nieciągłość dla ,x=0).

I rM

3)    /,(x) = ———. /(.'c)=0 dla wszystkich .x (wszędzie ciągła).

1 -rfl²X-

4)    f_lt(x) = 2h¹x-e~"‘- , /(.r)=*0 dia wszystkich ,x (to samo).

Naturalnie powstaje zagadnienie: ustalić warunki przy których funkcja graniczna zachowuje ciągłość; tym zagadnieniem zajmiemy się w 43i (i 432).

Widzieliśmy już [362], że rozpatrywanie szeregu Liczbowego i jego sumy jest tylko inną formą badania ciągu liczbowego i jego granicy. Rozpatrzmy teraz szereg, którego ■wyrazami są funkcje tej samej zmiennej x w pewnym obszarze Z:

n

(3)    Y. “»(■*)»U,(x) + U₂(x) + ...-r«„(X) + ...

* = l

Przypuśćmy, że szereg ten jest zbieżny dla każdej wartości x z Z; wtedy jego suma /(*) też jest pewną funkcją zmiennej x. Suma ta będzie określona przez równość graniczną postaci (2), jeżeli przez /,(jc) będziemy rozumieli sumę częściową

(*)    /»(-*) = U, (x) -f-u,(.r) -T ... T U_n(x).

Na odwrót, funkcję graniczną dla dowolnie zadanego ciągu (I) można badać pod postacią sumy szeregu (3), jeżeli przyjmiemy

“l(*)=/lW.    ..... «„(*) =/.(-<> -/.-!(*) ••••

Najczęściej będziemy mieli do czynienia z szeregami funkcyjnymi, ponieważ ta forma badania funkcji granicznej jest zwykle w praktyce wygodniejsza.

Należy tu również podkreślić, że przedmiotem naszych dalszych badań będą nie tylko zagadnienia zbieżności szeregu 13), lecz i własności funkcyjne jego sumy. Jako przykład może służyć zagadnienie ciągłości sumy szeregu, przy założeniu ciągłości wszystkich jego wyrazów; jest to właśnie zagadnienie, o którym wspominaliśmy uprzednio.

Jak się okazuje, własności funkcyjne funkcji granicznej (łub co na to samo wychodzi, samy szeregu) /(,;) istotnie zależą od samego sposobu zbliżenia się f„[x) do f(x) dia różnych wartości a-. Badaniem typowych możliwości, które tu występują, zajmiemy się w następnym ustępie.

1

Najczęściej będzie 10 przedział, -lacnuwamy jednak na razie największą ogólność i przez X będziemy rozurr.rdi dowolny zbiór liczbowy nieskończony