6 (49)

Rozdział 7

Ciągi i szeregi funkcyjne

W rozdziale tym główną uwagę poświęcimy funkcjom o wartościach zespolonych, zatem w szczególnym przypadku również i rzeczywistych, lecz liczne twierdzenia wraz z dowodami zachowują poprawność i w przypadku funkcji o wartościach wektorowych, a nawet odwzorowań o wartościach w przestrzeniach metrycznych. Postanowiliśmy ograniczyć się do tej najprostszej klasy funkcji, aby móc tym lepiej skoncentrować się na najważniejszych zagadnieniach, powstających przy zmianie kolejności przejść granicznych.

Pojęcia wstępne

7.1. Definicja. Niech {/„}, n = 1,2,3,..., będzie ciągiem funkcji określonych na zbiorze E i niech ciąg liczb {/„(*)} będzie zbieżny dla każdego xe E. Możemy wtedy określić funkcję/jako

0)    /(*) = lim//*)    (* e £).

* n-* oo

W tym przypadku powiemy, że ciąg {/,} jest zbieżny na zbiorze E i funkcja/ jest granicą lub funkcją graniczną tego ciągu. Czajami będziemy używać w tym przypadku określenia zbieżność punktowa: będziemy mówić, że ciąg/, jest zbieżny punktowo do funkcji f Analogią cznie jeśli szereg    zbieżny przy każdym * e E, to określimy

(2)    /(*)=£//*)?(*££)

I»«l

i funkcję /nazywać będziemy sumą szeregu £/,.

Głównym problemem, który powstaje w związku z tymi definicjami jest, czy i jaki zachowują się własności funkcji /„ przy dokonywaniu przejść granicznych (1) i (2). Na J przykład, jeśli funkcje/, są ciągłe lub różniczkowalne, powstaje pytanie, czy te same własności 1 będzie miała funkcja graniczna? Jaki związek zachodzi pomiędzy, na przykład,/,' if lub pomiędzy całkami zf„ a całką z/?

Ciągłość funkcji/w punkcie * oznacza, że

lim/W =■/(*)•

Zatem pytanie, czy granica ciągu funkcyjnego jest funkcją ciągłą, jest pytaniem, czy zachodzi ] równość