0360

ROZDZIAŁ XII

CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

§ 1. Zbieżność jednostajna

427. Uwagi wstępne. W poprzednim rozdziale zapoznaliśmy się z ciągami nieskończonymi i ich granicami oraz szeregami nieskończonymi i ich sumami. Wyrazami tych ciągów i szeregów były liczby stałe. Co prawda w niektórych przypadkach w ich skład wchodziły, jako parametry, pewne wielkości zmienne, lecz w trakcie badań zawsze przypisywaliśmy im określone wartości stałe. Więc na przykład gdy ustaliliśmy, że ciąg

n

ma granicę e^x lub że szereg

x —

2

i

x"

— + ...

n

ma sumę In (1 +*), x było dla nas liczbą stałą. Funkcyjnej natury wyrazów ciągu i jego granicy lub wyrazów szeregu i jego sumy nie braliśmy w ogóle pod uwagę. Przypuśćmy, że dany jest ciąg, którego wyrazami są funkcje

(1)    f₂(x),    ...,    /„(x),    ...

tej samej zmiennej x, określone w pewnym obszarze zmienności SC = {*} O- Niech dla każdej wartości x z SC ciąg ten ma granicę skończoną. Ponieważ jest ona całkowicie wyznaczona przez x, więc jest też funkcją x (w SC):

(2)    f(x) = lim /„(x) ,

n-co

będziemy ją nazywali funkcją graniczną ciągu (1) (lub funkcji /„(x)).

Teraz będzie nas interesowało nie tylko samo istnienie granicy dla każdej poszczególnej