DSC07125 (5)

178

Całki nieoznaczone

gdzie 0 < d ,£ 1, otrzymamy

c) Wykorzystując własności funkcji trygonometrycznych, liniowość całki oraz wzór

[ -?T~ = -ctgz + C J sin x

otrzymamy

/3 , f cos^a x ,    fi— sin^a z ,

^ctgi<ir=y ^^=7 “a?:-^-*

= JS^-J ^dx=-^ctsx~^x+a

d) W rozwiązaniu wykorzystamy wzór

a* — 6³ = (a — 6) (a^J + a6 + 6²) .

Przyjmując w tym wzorze a = e¹ oraz 6=1 otrzymamy

jj^^^dr = y (e^ta + e^I + l)dz=ie^ai + e^I+_!r + a ₂    1 —cos2q .. .    ..    ....

e) Wykorzystamy tożsamość sin a = -^- ^oraz “niowosc całki nieoznaczonej.

f . ii .    f l-cosz

jsm -di = J -j-⁰¹

Mamy

cosxdx

= i (z— sinz] + C = ix— ^sinz + C.

f) Dla iJO mamy Zatem

\jxi/xy/x =1$. j yjxy/xy/xdx = Jx$dx= ^x^ + C = \Zx™ + C.

Twierdzenia o całkach nieoznaczonych

Przykład 7.2

Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć podane całki nieoz-

naczone:
	1 arctgzdz;	b)	1JT arctgzdz;	C)
	1 zkćzdz;	V	f Inzdz z* '	8)

ROlWł?^zanie

_vVzór na całkowanie przez części ma postać

1

/ ^/(l)s'^(x) ** | /<*)«(*> ~ J f'(x)g(x) dx.

arc tgz Jz

/(i) = arc cg X /(Tl- ^1	»'(*) = 1 9(1) = *
^/l> 1 + T*
— i arc tg 1 —	Nip#

<fz =

= z arc

z arctgz

2xdx

l + z»

^tgI 2J (^ln(^{l + x2})Y^dx=x,act&^x-hn{l +

b) Jx*

arc tg z<iz

/(*)	= arc tg 1	9'(x) = i^ł
/'(*}	1 “ 1+7	9(*i	X^9 ~ T
	arc tg z -	i
|g	arctgz -	B
1 3		1		1 f 2xdx
=r	arctgz -	■3 j	^x 16y i+z»
0 H ^ |co W	arctgz-	j '3 ■	i*^2+	l / gggj
	arctgz -	B	^,+i^b	(l+z^a)+C.

/(i) = arc sin r S^ł(*ł = 1

E9

/*(*) =

_#(r) = 1

/

arcsinzdz

*

= i arc sini ■

[t—===<ł® = zarcsinx+

• vrar?-Lai

= 1 arc sin i + \J\-x¹

m

z sin i cos x dx =

= \ l zsin2zdx

Mian

/(*)»* yw- **■

/'(*) = i «<^{ł| =} "a

₌ _-ax2r