DSC07133 (6)

194    ^Całkl nieoznaczone

c) Podstawiamy z = cht, gdzie t £ 0. Wtedy s/i⁷ - I = sht oraz dx= sbtdt. Dalej

mamy

= f    = [ S^chtdt

J x    J cht J drt

f sli³i __L J J, | ,hi-v I_ [ V³dv _

-y ^7TT^cht<ffU‘"»-^r / ^+T-”-»c«g«+G

= sht - arctgsh t +C = 'Jxⁱ — 1 — arc tg y/i¹ — 1 +C. d) Podstawiamy * = 5sh(, gdzie t 6 R. Wtedy mamy

Jx^J +25 = 5cht oraz dx = Schtdt,

a całka przyjmuje postać

J \Jx* + 25 dz = 25 J ch²tdt.

Wykorzystamy teraz tożsamość

dA_ią±i.

Zatem

25 Jdftdl =    + ^ Jdt

= ęah2t+yt + C = yshtcht+H_{t +} c.

Aby powTÓdć do zmiennej z wykorzystamy definicję funkcji sinus hiperboliczny:

Uwzględniając podstawienie z = 5sh t otrzymamy równanie

5

Skąd mamy

z + vz^a + 25

t = ln

Ostatecznie całka wyraża się wzorem

25y’ch^Jtdt=|shtchM-“t + C = 5zV5T25 + El„£±V|!±H + C

=    + 25 + ^ In (z + v^/?T25) + C,

gdzleC* = C- y ln5.

Zadania

i Zadanie 7.1

Obliczyć podane całki nieoznaczone:

■)/(3®+3-WE)'^{fa; b}> f'AĄ?-;

f cos2xdx J cos z — sin 3

m n i

, [ x*dx

^C)/x> +1^;

•>7—^—

g) j tg^Jzdz;

-4 + 2

• Zadanie 7.2

Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:

a) fln(z+l)dz; d) J y/zarctg \/xdx\ g) J x² sin z dz;

j) l^-i

J cos³z

m) J logjzdz;

^b> I

e) J x ch z dz; H)/

c) J z^J2* dz; f arccoszi

' J ' V*+1 ¹

^k>/ arccosx d*;    1 /

n*) J arccos² xdx; o*) j zsin²zdz.

cos ln z dz;

e²* sin z dz; arccosz dz;

’ arccoszdz ’/*+!

zlnzdz; ze^-31 dz;

• Zadanie 7.3

Stosiyąc odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki nieoznaczone: ' cos>/z

U

"I

J) fflgBt

J 2 + y/Z'

m) K J +

P)

* \/4z — X*¹

cos z dz v/r+siiv

b) / ^v/‘ ^ ⁴-dz; c) /(x₊l)sin(x²+2z₊2)dx;

Hi

i /* 5sinzdz

n) / -1

' J 3—2 cos z

H

dx

(x-W^l

3z²+4z + 7’ i) Jx²y/5x³+ldx\

o) J sin³ z dz;

dz.