0353

§ 9. Sumowanie szeregów rozbieżnych

355

Jeżeli A=£0, to

lim    = 1,

łi-»co

a więc na mocy twierdzenia Cauchy'ego-Hadamarda promień zbieżności szeregu 07) jest równy 1. W każdym razie nie jest on mniejszy od 1, jeżeli A = 0.

Rozpatrzmy teraz ciąg tożsamości (’):

f] a, x" = (1-¹) J A. x" = (l-x) f] S‘^0>x",

«-0    a-0    a-0

a-0    a-0

£ S'‘-‘V = (l-¹) £ s'^k)x". a-0    a-0

Stwierdziliśmy wyżej zbieżność ostatniego szeregu w przedziale (—1,1). Wynika stąd [patrz 390, 4)] zbieżność wszystkich poprzednich szeregów. Ponadto jest

(18)    £ a, x" = (1 —jc)¹+¹    5<‘V = (1 -x)^{1 + 1} £ y**’!"**) x¹

a-0    a-0    n-0

Zestawmy z tą tożsamością inną tożsamość

09)    i =(i-jc)-+‘£ (■;¹)¹■,

a-0

która zachodzi również w tym samym przedziale (— 1,1). Otrzymuje się ją przez k-krotne różniczkowanie równości

1

i—x

= Z ¹"•

Mnożąc obie strony tożsamości (19) przez A i odejmując stronami równość (18) otrzymujemy w końcu

A- £ a„ = (1 -xY+^l Y (A-y'”) ("^1kj x".

a—0    a-0

Dalsze rozumowania (z uwzględnieniem (16) są zupełnie podobne do tych, za pomocą których udowodniliśmy twierdzenie Abela w ustępie 418 i twierdzenie Frobeniusa w 421. Możemy je pozostawić czytelnikowi. W wyniku otrzymujemy

00

lim Y a„x" = A, i-¹-⁰.-o

co było do udowodnienia.

Zauważmy jeszcze, że istnieją szeregi rozbieżne, sumowalne metodą Poissona-Abela, lecz nie sumo-walne żadną z uogólnionych metod Cesary. Tak więc pierwsza ze wspomnianych metod jest silniejsza, od wszystkich pozostałych razem wziętych.

3) Metody HSldera. Metody te polegąją po prostu na iterowanym stosowaniu metody średnich arytmetycznych. Wszystkie zagadnienia dotyczące ich regularności i wzajemnego stosunku rozstrzyga twierdzenie Cauchy’ego.

1

Uwzględniamy tu. związki typu (1S).